In Section 3-5, we applied the equations for a particle in a box to the
electrons in butadiene. This simple model is called the free-electron model. Using the same argument, show that the length of hexatriene can be estimated to be 867 pm . Show that the first electronic transition is predicted to occur at
. (Remember that hexatriene has
electrons.)
Passo 1
O enunciado pede para tratar os seis elétrons
de hexatrieno como partículas livres num “poço” unidimensional de comprimento
. Vamos primeiro estimar esse comprimento com base nos comprimentos de ligação carbono–carbono e numa pequena correção nas extremidades; depois, usaremos a fórmula das energias do poço para calcular a primeira transição eletrônica.
Passo 2
Estimativa de
: o hexatrieno tem três ligações duplas
e duas ligações simples
. Tomando
o comprimento da sequência de átomos de carbono é
Para modelar a “extensão” do orbital
além dos átomos terminais, adicionamos em cada extremidade uma correção de cerca de
. Assim,
Passo 3
Fórmula das energias no poço de comprimento
:
onde
. Os seis elétrons ocupam dois por nível, preenchendo até
. A primeira transição corresponde a um elétron indo de
(HOMO) para
(LUMO), de modo que
Passo 4
Convertendo
em número de onda
:
Agora substituímos
(
h = 6{,}626\times10^{-34},J\cdots,
(
h = 6{,}626\times10^{-34},J\cdots,
m = 9{,}109\times10^{-31},kg,
c = 3{,}00\times10^{8},m/s,
L = 8{,}67\times10^{-10},m.
)
Fazendo as contas, obtemos
)
Fazendo as contas, obtemos
Resposta
O comprimento do poço é estimado em
e a primeira transição eletrônica ocorre em
.