In each case, show that f(x) is an eigenfunction of the operator given. Find the eigenvalue.
d^2d x^2 cos omega x

Passo 1

O enunciado nos dá o operador
L = d^2d x^2
e a função
f(x) = cos(omega x),
Queremos verificar se f(x) é uma função própria de L, ou seja, se existe um valor lambda tal que
L[f(x)] = lambda,f(x)
Para isso, vamos usar regra da cadeia e propriedades de derivação de funções trigonométricas.

Passo 2

Calculemos a primeira e a segunda derivada de f(x).
Primeiro, pela regra da cadeia,
f'(x) = ddxcos(omega x) = -sin(omega x)cdot omega = -omega,sin(omega x)
Derivando mais uma vez, obtemos
f''(x) = ddxl(-omega,sin(omega x)r) = -omegal[cos(omega x)cdot omegar] = -omega^2cos(omega x)

Passo 3

Observamos que
L[f(x)] = f''(x) = -omega^2cos(omega x) = (-omega^2),f(x)
Portanto, f(x) satisfaz
L[f(x)] = lambda,f(x) com lambda = -omega^2

Resposta

Ocoseno cos(omega x) é função própria do operador dfracd^2dx^2 com valor próprio
lambda = -omega^2

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