• Sedra 11{ }^{\text {a }} ed. 4.75 ) Um retificador de meia onda com carga de 500 \Omega opera a partir de uma fonte de 120 V RMS e 60 Hz através de um transformador abaixador 12:1. Calcular para um capacitor que resulta em ondulação de tensão de (I) 1% do valor de pico e (II) 10% do valor de pico.
    a) Qual a tensão média na carga?
    b) Qual fração do ciclo o diodo conduz?
    c) Qual a corrente média no diodo?
    d) Qual a corrente de pico no diodo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todas estas informações do enunciado).
  • Fonte primária: 120\\ \text{V RMS}, 60\\ \text{Hz}.
  • Transformador abaixador com relação de espiras 12\!:\!1.
  • Retificador: meia-onda com filtro capacitor (capacitor em paralelo com a carga).
  • Carga: R = 500\\ \Omega.
  • Dois casos pedidos para o capacitor:
    • (I) ondulação (ripple) de 1\% do valor de pico;
    • (II) ondulação de 10\% do valor de pico.
  • O enunciado pede, para cada caso:
    a) tensão média na carga;
    b) fração do ciclo em que o diodo conduz;
    c) corrente média no diodo;
    d) corrente de pico no diodo.
Observação/pressuposto usado: vou desprezar queda de tensão no diodo e resistências série do transformador (assumir diodo ideal), pois o enunciado não fornece esses dados — isso é habitual nesses exercícios.

Passo 2

Primeiro calculo a tensão do secundário do transformador e o pico dessa tensão.
  • Tensão RMS do secundário:
V_{s,\text{rms}}=\frac{120}{12}=10\\ \text{V}.
  • Pico do secundário (valor máximo da senóide):
V_p = \sqrt{2}\,V_{s,\text{rms}}=\sqrt{2}\cdot 10 \approx 14,142\\ \text{V}.
Defino V_p como o pico da fonte retificada (antes do diodo).

Passo 3

Explico o comportamento do retificador com capacitor (filtro de entrada) e as fórmulas que usarei.
  • O capacitor carrega rapidamente perto do pico do sinal senoidal e, entre pulsos de carga, fornece corrente para a carga, descarregando até que o diodo volte a conduzir no pico seguinte. Para meia-onda, os pulsos de carga ocorrem a cada período T da rede, com T = 1/f.
  • Notações:
    • \Delta V = amplitude da ondulação (valor de pico a vale mínimo do capacitor) — no enunciado é dado como fração de V_p.
    • I_{L} = corrente média na carga = corrente média no diodo (porque a corrente média no capacitor, ao longo de um ciclo, é zero).
    • V_{DC} = tensão média na carga (valor médio do envelope, aproximadamente a média do máximo e mínimo do capacitor) — para pequena ondulação usamos a aproximação padrão abaixo.
    • C = capacitância (não nos é dada explicitamente; quando necessário eliminamos C usando \Delta V = I_L T / C).
Fórmulas principais (explico cada símbolo):
  • Período da rede: \displaystyle T=\frac{1}{f} com f=60\\ \text{Hz}.
  • Relação ondulação / capacitância (descarga aproximada linear entre recargas):
\Delta V = \frac{I_L\,T}{C}.
Aqui \Delta V é a queda de tensão no capacitor entre dois pulsos, I_L é a corrente média que atravessa a carga (em ampères), T em segundos, C em farads.
  • Aproximação para a tensão média no capacitor (e na carga) quando a ondulação é pequena:
V_{DC}\approx V_p - \frac{\Delta V}{2}.
Explicação rápida: o capacitor oscila entre V_p (próximo do pico de carga) e V_p-\Delta V; a média é aproximadamente o ponto médio.
  • Condução do diodo: o diodo só conduz num pequeno intervalo ao redor do pico. Chamando \theta o semi-ângulo (em rad) contado a partir do pico até o ponto onde a senóide cruza V_p-\Delta V, obtemos a condição de igualdade:
V_p\cos\theta = V_p - \Delta V.
Para \theta pequeno usamos \cos\theta\approx 1-\dfrac{\theta^2}{2} e obtemos
\theta \approx \sqrt{\frac{2\Delta V}{V_p}}.
A fração do ciclo em que o diodo conduz é então
\text{fração} = \frac{2\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{\pi}.çã
  • Corrente média no diodo: como dito, a média do diodo ao longo do ciclo é igual à corrente média da carga:
I_{D,\text{avg}}=I_L=\frac{V_{DC}}{R}.
  • Corrente de pico no pulso de carga (aproximação): durante a condução o diodo fornece corrente de carga para o capacitor além da corrente da carga. Logo o pico aproximado da corrente no diodo é
I_{D,\text{pk}}\approx I_L + I_{C,\text{pk}}
com I_{C,\text{pk}} aproximadamente C\,V_p\,\omega\,\sin\theta. Para \theta pequeno \sin\theta\approx\theta, e usando C=I_L T/\Delta V e T\omega=2\pi obtemos a expressão útil (elimino C):
I_{D,\text{pk}}\approx I_L\!\left(1 + 2\pi\sqrt{\frac{2V_p}{\Delta V}}\right).
Explico: isso vem de substituir C e \theta nas expressões e simplificar; o termo grande proveniente de \sqrt{V_p/\Delta V} mostra que, para ondulação pequena, há pulsos de corrente muito altos e estreitos.

Passo 4

Agora aplico tudo numericamente. Primeiro tenho T e \omega:
T=\frac{1}{60}\approx 0,0166667\\ \text{s},\qquad \omega=2\pi f = 2\pi\cdot 60\\ \text{rad/s}.
Caso (I): ondulação 1\% de V_p.
  • \Delta V = 0{,}01\,V_p = 0{,}01\cdot 14{,}142 \approx 0{,}14142\\ \text{V}.
  • Tensão média aproximada:
V_{DC}\approx V_p-\frac{\Delta V}{2}=14{,}142 - \frac{0{,}14142}{2}=14{,}142 - 0{,}07071 \approx 14{,}0713\\ \text{V}.
  • Corrente média na carga:
I_L=\frac{V_{DC}}{R}=\frac{14{,}0713}{500}\approx 0{,}0281426\\ \text{A}\\ = 28{,}14\\ \text{mA}.
Caso (II): ondulação 10\% de V_p.
  • \Delta V = 0{,}10\,V_p = 0{,}10\cdot 14{,}142 \approx 1{,}4142\\ \text{V}.
  • Tensão média aproximada:
V_{DC}\approx 14{,}142 - \frac{1{,}4142}{2}=14{,}142 - 0{,}7071 \approx 13{,}4349\\ \text{V}.
  • Corrente média na carga:
I_L=\frac{13{,}4349}{500}\approx 0{,}0268698\\ \text{A}\\ = 26{,}87\\ \text{mA}.

Passo 5

Calculo a fração do ciclo em que o diodo conduz (usando a fórmula com \theta).
  • Fórmula:
\theta \approx \sqrt{\frac{2\Delta V}{V_p}},\qquad \text{fração}=\frac{\theta}{\pi}.çã
Caso (I), \Delta V=0{,}14142\\ \text{V}:
\theta \approx \sqrt{\frac{2\cdot 0{,}14142}{14{,}142}}=\sqrt{0{,}02}\approx 0{,}141421\\ \text{rad}.
\text{fração}=\frac{0{,}141421}{\pi}\approx 0{,}0450\quad\text{(ou }4{,}50\%\text{ do ciclo).}çã
Caso (II), \Delta V=1{,}4142\\ \text{V}:
\theta \approx \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}4142}{14{,}142}}=\sqrt{0{,}2}\approx 0{,}447214\\ \text{rad}.
\text{fração}=\frac{0{,}447214}{\pi}\approx 0{,}1423\quad\text{(ou }14{,}23\%\text{ do ciclo).}çã

Passo 6

Corrente média no diodo já foi relacionada à corrente na carga; repito e explico brevemente.
  • Conservação média de carga no capacitor: a corrente média pelo capacitor em regime estacionário é zero (ao longo de um ciclo), portanto a média da corrente que sai do transformador pelo diodo é igual à corrente média para a carga.
I_{D,\text{avg}}=I_L=\frac{V_{DC}}{R}.
Valores já calculados no Passo 4:
  • Caso (I): I_{D,\text{avg}}\approx 0{,}0281426\\ \text{A}.
  • Caso (II): I_{D,\text{avg}}\approx 0{,}0268698\\ \text{A}.

Passo 7

Calculo a corrente de pico no diodo usando a expressão aproximada deduzida. Relembro a expressão:
I_{D,\text{pk}}\approx I_L\!\left(1 + 2\pi\sqrt{\frac{2V_p}{\Delta V}}\right).
Faço os cálculos numéricos.
Caso (I), \Delta V=0{,}14142\\ \text{V}, I_L\approx 0{,}0281426\\ \text{A}:
\sqrt{\frac{2V_p}{\Delta V}}=\sqrt{\frac{2\cdot 14{,}142}{0{,}14142}}=\sqrt{\frac{28{,}284}{0{,}14142}}=\sqrt{200}\approx 14{,}1421.
I_{D,\text{pk}}\approx 0{,}0281426\cdot\big(1 + 2\pi\cdot 14{,}1421\big) =0{,}0281426\cdot(1 + 88{,}8264)\approx 0{,}0281426\cdot 89{,}8264\approx 2{,}528\\ \text{A}.
Caso (II), \Delta V=1{,}4142\\ \text{V}, I_L\approx 0{,}0268698\\ \text{A}:
\sqrt{\frac{2V_p}{\Delta V}}=\sqrt{\frac{2\cdot 14{,}142}{1{,}4142}}=\sqrt{\frac{28{,}284}{1{,}4142}}=\sqrt{20}\approx 4{,}47214.
I_{D,\text{pk}}\approx 0{,}0268698\cdot\big(1 + 2\pi\cdot 4{,}47214\big) =0{,}0268698\cdot(1 + 28{,}0951)\approx 0{,}0268698\cdot 29{,}0951\approx 0{,}7817\\ \text{A}.
Comentário final curto: repara que, quanto menor a ondulação desejada (1%), maior a capacitância necessária e mais estreitos e mais altos serão os pulsos de carga — daí os picos de corrente bem maiores.

Resposta

a) (I) V_{DC}\approx 14{,}0713\\ \text{V} ; (II) V_{DC}\approx 13{,}4349\\ \text{V}
b) (I) fração \approx 0{,}0450 do ciclo =4{,}50\% ; (II) fração \approx 0{,}1423 do ciclo =14{,}23\%
c) (I) I_{D,\text{avg}}\approx 0{,}0281426\\ \text{A} ; (II) I_{D,\text{avg}}\approx 0{,}0268698\\ \text{A}
d) (I) I_{D,\text{pk}}\approx 2{,}528\\ \text{A} ; (II) I_{D,\text{pk}}\approx 0{,}7817\\ \text{A}

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