decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir calcule o seu valor.
\lim {x \rightarrow 0} \frac{x{1}^{9} x_{2}}{\left(x_{1}{6}+x_{2}{2}\right)^{9}}
\lim {x \rightarrow 0} \frac{x{1}^{9} x_{2}}{\left(x_{1}{6}+x_{2}{2}\right)^{9}}
Passo 1
O enunciado pede: decidir se existe o limite, quando
, da função
Informações dadas:
- A variável de interesse é o vetor
em . - O ponto de aproximação é o ponto origem
. - Precisa-se dizer se o limite existe; se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Estratégia e ideia que vamos usar (explicadinha, passo a passo):
- Para limites em várias variáveis, uma forma prática de testar existência é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao mesmo ponto. Se dois caminhos darem resultados diferentes, o limite não existe.
- Outra ideia útil é comparar ordens (potências) das variáveis no numerador e no denominador. Se ao escolher um caminho apropriado as potências “se cancelam” de forma a produzir uma potência negativa de uma pequena variável (por ex.
com ), isso indica que a expressão pode ficar arbitrariamente grande (divergir). - No denominador aparece
. Uma escolha natural de caminho que “balanceia” os dois termos é fazer proporcional a , porque então fica proporcional a . Se esse caminho levar a um comportamento diferente do caminho onde, por exemplo, , então o limite não existe.
Passo 3
Avaliar o limite na reta
(aproximação pela coordenada
sozinha).
- Substituindo
na expressão obtemos
- Portanto, ao aproximar
pela reta , o valor da função tende a . - Conclusão parcial: ao menos um caminho dá limite igual a
.
Passo 4
Avaliar o limite pelo caminho
, com
fixo (essa é a escolha que balanceia
e
).
- Substituindo
na expressão:
- Simplificando o numerador:
- Simplificando o denominador (note que
):
- Portanto a razão fica
- Agora observe o comportamento quando
: tende para . Assim, salvo o caso (que corresponderia a e dá zero), para qualquer a expressão diverge em módulo para , e o sinal depende do sinal de . Em particular, ao aproximar pela curva (isto é ) o valor da função tende para ; pela curva tende para . - Conclusão parcial: existe caminho(s) cujo valor tende a infinito (diverge).
Passo 5
Comparação dos resultados dos caminhos testados e conclusão final:
- Pelo caminho
o limite (quando existe ao longo desse caminho) é . - Pelo caminho
com a função diverge (tende a ). - Como dois caminhos que chegam ao mesmo ponto dão comportamentos distintos (um dá
, outros divergem), o limite total quando não pode existir. - Além disso, a existência de caminhos que levam a valores arbitrariamente grandes mostra que a função é não limitada perto da origem.
Resposta
O limite não existe.