decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir calcule o seu valor.
\lim {x \rightarrow 0} \frac{x{1}^{9} x_{2}}{\left(x_{1}{6}+x_{2}{2}\right)^{9}}

Passo 1

O enunciado pede: decidir se existe o limite, quando (x_{1},x_{2}) \to (0,0), da função
\frac{x_{1}^{9} x_{2}}{\left(x_{1}^{6}+x_{2}^{2}\right)^{9}}.
Informações dadas:
  • A variável de interesse é o vetor (x_{1},x_{2}) em \mathbb{R}^{2}.
  • O ponto de aproximação é o ponto origem (0,0).
  • Precisa-se dizer se o limite existe; se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Estratégia e ideia que vamos usar (explicadinha, passo a passo):
  • Para limites em várias variáveis, uma forma prática de testar existência é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao mesmo ponto. Se dois caminhos darem resultados diferentes, o limite não existe.
  • Outra ideia útil é comparar ordens (potências) das variáveis no numerador e no denominador. Se ao escolher um caminho apropriado as potências “se cancelam” de forma a produzir uma potência negativa de uma pequena variável (por ex. x_{1}^{-k} com k>0), isso indica que a expressão pode ficar arbitrariamente grande (divergir).
  • No denominador aparece x_{1}^{6}+x_{2}^{2}. Uma escolha natural de caminho que “balanceia” os dois termos é fazer x_{2} proporcional a x_{1}^{3}, porque então x_{2}^{2} fica proporcional a x_{1}^{6}. Se esse caminho levar a um comportamento diferente do caminho onde, por exemplo, x_{1}=0, então o limite não existe.

Passo 3

Avaliar o limite na reta x_{1}=0 (aproximação pela coordenada x_{2} sozinha).
  • Substituindo x_{1}=0 na expressão obtemos
\frac{0^{9}\,x_{2}}{\bigl(0^{6}+x_{2}^{2}\bigr)^{9}}=\frac{0}{(x_{2}^{2})^{9}}=0.
  • Portanto, ao aproximar (x_{1},x_{2})\to(0,0) pela reta x_{1}=0, o valor da função tende a 0.
  • Conclusão parcial: ao menos um caminho dá limite igual a 0.

Passo 4

Avaliar o limite pelo caminho x_{2}=m\,x_{1}^{3}, com m\in\mathbb{R} fixo (essa é a escolha que balanceia x_{1}^{6} e x_{2}^{2}).
  • Substituindo x_{2}=m x_{1}^{3} na expressão:
\frac{x_{1}^{9}\,(m x_{1}^{3})}{\bigl(x_{1}^{6}+(m x_{1}^{3})^{2}\bigr)^{9}}.
  • Simplificando o numerador:
x_{1}^{9}\,(m x_{1}^{3}) = m\,x_{1}^{12}.
  • Simplificando o denominador (note que (m x_{1}^{3})^{2}=m^{2}x_{1}^{6}):
\bigl(x_{1}^{6}+m^{2}x_{1}^{6}\bigr)^{9} = \bigl(x_{1}^{6}(1+m^{2})\bigr)^{9} = x_{1}^{54}(1+m^{2})^{9}.
  • Portanto a razão fica
\frac{m\,x_{1}^{12}}{x_{1}^{54}(1+m^{2})^{9}} = \frac{m}{(1+m^{2})^{9}}\;x_{1}^{12-54} = \frac{m}{(1+m^{2})^{9}}\;x_{1}^{-42}.
  • Agora observe o comportamento quando x_{1}\to 0: x_{1}^{-42} tende para +\infty. Assim, salvo o caso m=0 (que corresponderia a x_{2}=0 e dá zero), para qualquer m\neq 0 a expressão diverge em módulo para +\infty, e o sinal depende do sinal de m. Em particular, ao aproximar pela curva x_{2}=x_{1}^{3} (isto é m=1) o valor da função tende para +\infty; pela curva x_{2}=-x_{1}^{3} tende para -\infty.
  • Conclusão parcial: existe caminho(s) cujo valor tende a infinito (diverge).

Passo 5

Comparação dos resultados dos caminhos testados e conclusão final:
  • Pelo caminho x_{1}=0 o limite (quando existe ao longo desse caminho) é 0.
  • Pelo caminho x_{2}=m x_{1}^{3} com m\neq 0 a função diverge (tende a \pm\infty).
  • Como dois caminhos que chegam ao mesmo ponto dão comportamentos distintos (um dá 0, outros divergem), o limite total quando (x_{1},x_{2})\to(0,0) não pode existir.
  • Além disso, a existência de caminhos que levam a valores arbitrariamente grandes mostra que a função é não limitada perto da origem.

Resposta

O limite não existe.

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