decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir calcule o seu valor.
\lim {x \rightarrow 0} \sqrt{x{1}{2}+x_{2}{2}} \ln \frac{1}{\sqrt{x_{1}{2}+x_{2}{2}}}
\lim {x \rightarrow 0} \sqrt{x{1}{2}+x_{2}{2}} \ln \frac{1}{\sqrt{x_{1}{2}+x_{2}{2}}}
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se o limite
existe e, se existir, que calculemos seu valor. As informações dadas são as componentes
variando em
e a expressão depende apenas da combinação
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Observação útil (redução para uma variável): defina
Aqui
. Quando
temos
(isto é, aproximação por valores positivos de
). A expressão do enunciado depende só de
, então o limite multivariável reduz-se ao limite univariável
Justificativa breve: para cada par
associamos o mesmo
, e a expressão original é exatamente
. Portanto estudar o limite quando
é equivalente a estudar quando
.
Passo 3
Análise do sinal e forma da função em uma vizinhança de
: para
tem-se
, então
. Portanto o limite, caso exista, deverá ser um número não negativo. Agora vamos calcular esse limite univariável.
Passo 4
Mudança de variável que facilita: coloque
. Quando
temos
. Reescrevendo a expressão,
Logo
Passo 5
Cálculo do limite
. Esta é uma forma
, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital (é uma regra padrão para limites de quocientes onde numerador e denominador tendem a infinito): diferenciar numerador e denominador em relação a
. As derivadas são
Pela regra de L’Hôpital,
Portanto
Passo 6
Conclusão final e interpretação intuitiva: o limite existe. Intuitivamente,
tende a
enquanto
tende a
, mas a queda de
domina o crescimento lento do logaritmo, fazendo o produto ir a
. Assim o limite multivariável original existe e vale
.