O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O máximo momento admissível que pode ser aplicado à viga considerando a tensão admissível no alumínio, (Madm_alum) (em kN.m):

Passo 1

O que o problema pede: determinar o máximo momento admissível que pode ser aplicado à viga considerando a tensão admissível no alumínio, ou seja M_{\text{adm, alum}} (em kN·m).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
b=70\\ \mathrm{mm}
h_{\text{alum}}=90{,}0\\ \mathrm{mm}
h_{\text{aço}}=60{,}0\\ \mathrm{mm}ç
L=4{,}5\\ \mathrm{m} (comprimento da viga — não é necessário para este item)
E_{\text{alum}}=75{,}00\\ \mathrm{GPa}
E_{\text{aço}}=200{,}00\\ \mathrm{GPa}ç
\sigma_{\text{adm, alum}}=100{,}0\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{\text{adm, aço}}=150{,}0\\ \mathrm{MPa}ç (não usada neste item)
Geometria do conjunto: retângulo de aço em baixo com altura h_{\text{aço}}ç e retângulo de alumínio em cima com altura h_{\text{alum}}; largura comum b. A altura total é H=h_{\text{aço}}+h_{\text{alum}}=150\\ \mathrm{mm}ç.

Passo 2

Escolha do método e conceito principal (explicado de forma didática):
  • Por sermos uma viga composta por dois materiais com módulos de elasticidade diferentes, usamos o método da seção transformada (método das áreas transformadas). A ideia é transformar uma das partes em uma seção equivalente feita do outro material, usando a razão modular n.
  • Vou transformar a seção de aço em uma seção equivalente de alumínio (ou seja, medir tudo em “unidades de alumínio”). Isso é conveniente porque queremos a tensão admissível no alumínio.
  • Definição da razão modular:
n=\frac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{alum}}}.ç
Significado: n diz quantas vezes a área do aço “vale” em termos de comportamento elástico quando comparada ao alumínio. Se n>1, o aço é mais rígido e, ao transformar para alumínio, sua área aumenta por n.
Calcule n:
n=\frac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{alum}}}=\frac{200{,}00}{75{,}00}= \frac{200}{75}=2{,}666\ldots \approx 2{,}6667.ç

Passo 3

Localização do eixo neutro da seção transformada (passo a passo):
  • Áreas reais:
A_{\text{alum}}=b\cdot h_{\text{alum}}=70\cdot 90=6300\\ \mathrm{mm}^2,
A_{\text{aço}}=b\cdot h_{\text{aço}}=70\cdot 60=4200\\ \mathrm{mm}^2.çç
  • Área transformada do aço (em equivalente alumínio):
A'_{\text{aço}}=n\cdot A_{\text{aço}}=2{,}6667\cdot 4200=11200\\ \mathrm{mm}^2.çç
  • Distâncias dos centros das subáreas ao fundo (adotando origem em y=0 no fundo da seção, ou seja na base do aço):
y_{\text{cent,aço}}=\frac{h_{\text{aço}}}{2}=30\\ \mathrm{mm},çç
y_{\text{cent,alum}}=h_{\text{aço}}+\frac{h_{\text{alum}}}{2}=60+45=105\\ \mathrm{mm}.ç
  • Coordenada do eixo neutro (baricentro da seção transformada):
y_{\text{NA}}=\frac{A_{\text{alum}}\,y_{\text{cent,alum}}+A'_{\text{aço}}\,y_{\text{cent,aço}}}{A_{\text{alum}}+A'_{\text{aço}}}.ççç
Agora substituímos números:
y_{\text{NA}}=\frac{6300\cdot 105 + 11200\cdot 30}{6300+11200}=\frac{661500+336000}{17500}=\frac{997500}{17500}=57\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o eixo neutro está a 57\\ \mathrm{mm} acima do fundo (base do aço). A distância do eixo neutro até a face superior (topo do alumínio) é
c_{\text{topo}}=H-y_{\text{NA}}=150-57=93\\ \mathrm{mm}.
A distância até o centro da alma (centroide do alumínio) é
d_{\text{al,cent}}=y_{\text{cent,alum}}-y_{\text{NA}}=105-57=48\\ \mathrm{mm},
e até o centro do aço
d_{\text{aço,cent}}=y_{\text{NA}}-y_{\text{cent,aço}}=57-30=27\\ \mathrm{mm}.çç

Passo 4

Momento de inércia da seção transformada ( I_{\text{tr}}) em relação ao eixo neutro:
  • Para cada retângulo calculamos o momento de inércia em torno do seu próprio centro e aplicamos o teorema dos eixos paralelos; para o aço usamos os valores transformados (multiplicamos por n).
Fórmulas usadas:
  • Momento de inércia de um retângulo em torno de seu centro: \displaystyle I_{\text{cent}}=\frac{b h^3}{12}.
  • Teorema dos eixos paralelos: I=I_{\text{cent}}+A d^2, onde d é a distância entre centros.
Cálculos para o alumínio (não transformado, pois estamos medindo em unidades de alumínio):
I_{\text{al,cent}}=\frac{b\,h_{\text{alum}}^3}{12}=\frac{70\cdot 90^3}{12}=\frac{70\cdot 729000}{12}=4\,252\,500\\ \mathrm{mm}^4.
I_{\text{al,trans}}=I_{\text{al,cent}} + A_{\text{alum}}\,d_{\text{al,cent}}^2=4\,252\,500 + 6300\cdot 48^2.
Calcule 6300\cdot 48^2=6300\cdot 2304=14\,515\,200. Assim
I_{\text{al,trans}}=4\,252\,500+14\,515\,200=18\,767\,700\\ \mathrm{mm}^4.
Cálculos para o aço (transformado para alumínio):
I_{\text{aço,cent}}=\frac{b\,h_{\text{aço}}^3}{12}=\frac{70\cdot 60^3}{12}=\frac{70\cdot 216000}{12}=1\,260\,000\\ \mathrm{mm}^4.çç
Ao transformar multiplicamos por n:
n\,I_{\text{aço,cent}}=2{,}6667\cdot 1\,260\,000=3\,360\,000\\ \mathrm{mm}^4.ç
A contribuição de área após transformação (para o termo A d^2) é
A'_{\text{aço}}\,d_{\text{aço,cent}}^2=11200\cdot 27^2=11200\cdot 729=8\,164\,800\\ \mathrm{mm}^4.çç
Logo
I_{\text{aço,trans}}=n\,I_{\text{aço,cent}}+A'_{\text{aço}}\,d_{\text{aço,cent}}^2=3\,360\,000+8\,164\,800=11\,524\,800\\ \mathrm{mm}^4.çççç
Somando as duas contribuições obtemos o momento de inércia total transformado:
I_{\text{tr}}=I_{\text{al,trans}}+I_{\text{aço,trans}}=18\,767\,700+11\,524\,800=30\,292\,500\\ \mathrm{mm}^4.ç

Passo 5

Relação entre momento fletor e tensão no alumínio (breve aula):
  • Para flexão linear, a curvatura da viga é \kappa=\dfrac{M}{E\,I}. No método da seção transformada medimos I_{\text{tr}} em unidades de alumínio, portanto:
\kappa=\frac{M}{E_{\text{alum}}\,I_{\text{tr}}}.
  • A tensão no alumínio a uma distância y do eixo neutro é \sigma_{\text{al}}=E_{\text{alum}}\,\kappa\,y. Substituindo \kappa vemos que E_{\text{alum}} cancela:
\sigma_{\text{al}}=\frac{M\,y}{I_{\text{tr}}}.
  • Assim, para o ponto mais crítico do alumínio (topo, distância y=c_{\text{topo}}=93\\ \mathrm{mm}), temos
\sigma_{\text{al,top}}=\frac{M\,c_{\text{topo}}}{I_{\text{tr}}}.

Passo 6

Determinar M_{\text{adm, alum}} impondo \sigma_{\text{al,top}}=\sigma_{\text{adm, alum}} e calcular numericamente passo a passo:
  • Fórmula para M_{\text{adm, alum}}:
M_{\text{adm, alum}}=\frac{\sigma_{\text{adm, alum}}\;I_{\text{tr}}}{c_{\text{topo}}}.
Substituindo valores (atenção às unidades: \sigma em \mathrm{N/mm}^2, I em \mathrm{mm}^4, c em mm, o resultado sai em \mathrm{N\cdot mm}):
M_{\text{adm, alum}}=\frac{100\\ \mathrm{N/mm}^2 \cdot 30\,292\,500\\ \mathrm{mm}^4}{93\\ \mathrm{mm}}.
Calcule o numerador:
100\cdot 30\,292\,500 = 3\,029\,250\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Dividindo por 93:
M_{\text{adm, alum}}=\frac{3\,029\,250\,000}{93}=32\,572\,580{,}645\\ \mathrm{N\cdot mm}\\ (\text{aprox.}).
Converter para kN·m: 1\\ \mathrm{kN\cdot m}=10^6\\ \mathrm{N\cdot mm}. Então
M_{\text{adm, alum}}=\frac{32\,572\,580{,}645}{10^{6}} \approx 32{,}572580645\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
M_{\text{adm, alum}}\approx 32{,}57\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Passei por todas as etapas detalhadamente: transformação do aço para equivalente em alumínio, localização do eixo neutro, cálculo de I_{\text{tr}}, formulação da relação tensão–momento e obtenção de M_{\text{adm, alum}}. Força, você já matou metade da prova só de entender esse procedimento — dá pra aplicar a mesma receita para verificar o aço ou para outras geometrias.

Resposta

\;32{,}57\\ \mathrm{kN\cdot m}

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