O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O momento de inércia somente do alumínio em relação à linha neutra, (lalum) (em \mathrm{mm}^{4} ):

Passo 1

O que o problema pede agora: calcular o momento de inércia apenas da faixa de alumínio em relação à linha neutra da seção composta (isto é, o momento de inércia do retângulo de alumínio transferido até a linha neutra da seção composta), em \mathrm{mm}^4.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números que chegam do enunciado):
\begin{aligned} &b=70\\ \mathrm{mm},\\\ &h_{\text{alum}}=90{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ &h_{\text{aço}}=60{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ &E_{\text{alum}}=75{,}00\\ \mathrm{GPa},\\\ &E_{\text{aço}}=200{,}00\\ \mathrm{GPa}. \end{aligned}çç
O objetivo deste cálculo parcial é somente obter o momento de inércia da parte de alumínio em relação à linha neutra da seção composta (não estamos ainda determinando a carga w nem tensões).

Passo 2

Escolha do método e ideia: como os materiais têm módulos de elasticidade diferentes, usa-se o método da seção transformada. Transformamos a área do aço numa área equivalente de alumínio multiplicando por n, onde
n=\frac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{alum}}}.ç
Calculamos as áreas transformadas, localizamos a linha neutra (centroide da seção transformada), e então aplicamos o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia do alumínio em relação à linha neutra.
Calcule n:
n=\frac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{alum}}}=\frac{200}{75}=\frac{8}{3}=2{,}6666667.ç
Áreas reais:
A_{\text{al}}=b\cdot h_{\text{alum}}=70\cdot 90=6300\\ \mathrm{mm}^2.
Área do aço (real):
A_{\text{aço}}=b\cdot h_{\text{aço}}=70\cdot 60=4200\\ \mathrm{mm}^2.çç
Área equivalente do aço em termos de alumínio:
A_{\text{aço,eq}}=n\cdot A_{\text{aço}}=2{,}6666667\cdot 4200=11200\\ \mathrm{mm}^2.çç
Posições dos centros (medidas a partir da face superior da viga, para facilitar):
  • centroide do alumínio (distância da face superior):
y_{\text{al}}=\frac{h_{\text{alum}}}{2}=\frac{90}{2}=45\\ \mathrm{mm}.
  • centroide do aço (distância da face superior):
    a face superior do aço está a h_{\text{alum}}=90\\ \mathrm{mm} abaixo da face superior da viga, então
y_{\text{aço}}=90+\frac{h_{\text{aço}}}{2}=90+30=120\\ \mathrm{mm}.çç
Centroide (linha neutra) da seção transformada:
\bar{y}=\frac{A_{\text{al}}\,y_{\text{al}}+A_{\text{aço,eq}}\,y_{\text{aço}}}{A_{\text{al}}+A_{\text{aço,eq}}} =\frac{6300\cdot 45 + 11200\cdot 120}{6300+11200}.ççç
Calcule numeradores e denominador:
6300\cdot45=283500,\qquad 11200\cdot120=1344000,
\bar{y}=\frac{283500+1344000}{17500}=\frac{1627500}{17500}=93\\ \mathrm{mm}.
Interpretação rápida: a linha neutra está a 93\\ \mathrm{mm} abaixo da face superior, ou seja, 93-90=3\\ \mathrm{mm} dentro da faixa de aço (logo abaixo da interface alumínio/aço).

Passo 3

Agora precisamos do momento de inércia da faixa de alumínio em relação a essa linha neutra. Aplicamos o teorema dos eixos paralelos:
I_{\text{al}|NA}=I_{\text{al,centroide}} + A_{\text{al}}\;d^2,
onde d é a distância entre o centroide do alumínio e a linha neutra:
d=\bar{y}-y_{\text{al}}=93-45=48\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcule o momento de inércia do retângulo do alumínio em torno do seu próprio centro (fórmula padrão):
I_{\text{al,centroide}}=\frac{b\,h_{\text{alum}}^3}{12}=\frac{70\cdot 90^3}{12}.
Compute 90^3=729000. Então
I_{\text{al,centroide}}=\frac{70\cdot 729000}{12}=\frac{51\,030\,000}{12}=4\,252\,500\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 5

Calcule o termo de eixos paralelos:
A_{\text{al}}\,d^2 = 6300\cdot 48^2.
Calcule 48^2=2304. Então
A_{\text{al}}\,d^2 = 6300\cdot 2304 = 14\,515\,200\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 6

Somando os dois termos obtemos o momento de inércia da faixa de alumínio em relação à linha neutra da seção composta:
I_{\text{al}|NA}=4\,252\,500 + 14\,515\,200 = 18\,767\,700\\ \mathrm{mm}^4.
Podemos também escrever em notação científica:
I_{\text{al}|NA}=1{,}87677\times 10^{7}\\ \mathrm{mm}^4.

Resposta

1{,}87677\times 10^{7}\\ \mathrm{mm}^4

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