O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O momento de inércia da seção equivalente de aço em relação à linha neutra, (leq_aço) (em
):
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O momento de inércia da seção equivalente de aço em relação à linha neutra, (leq_aço) (em
Passo 1
O que o exercício pede: determinar o momento de inércia da seção equivalente (transformada para aço) em relação à linha neutra, que vou chamar de
(em
).\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Observação importante: como o enunciado pede a “seção equivalente de aço”, vou transformar a parte de alumínio numa seção equivalente em aço usando o fator de modularidade e então calcular o momento de inércia total (aço real + alumínio transformado) em relação à linha neutra da seção transformada.
Passo 2
Explicação didática do método (sem pular etapas). Quando temos uma seção composta por materiais com diferentes módulos de elasticidade
e queremos usar a teoria da flexão linear (onde a curvatura é a mesma em toda a seção), é comum transformar uma das partes em uma área equivalente do material de referência multiplicando sua área por
Aqui escolhemos como referência o aço, portanto transformamos a área do alumínio multiplicando por
Com as áreas transformadas, determinamos a linha neutra (centroide da seção transformada) pela média ponderada das áreas e então aplicamos o teorema dos eixos paralelos para cada peça (inércia centroidal +
). A fórmula do centroide da seção transformada é
onde
são as áreas transformadas e
as posições dos centros de área em relação a uma origem escolhida. A fórmula do momento de inércia de um retângulo em torno de seu centróide é
Depois usamos o teorema dos eixos paralelos: para deslocamento
entre centros,
Passo 3
Calcular o fator de transformação
:
Passo 4
Calcular as áreas (em
) e as posições dos centroides tomando a origem em
na face inferior da camada de aço (ou seja, base da viga):
- área do aço real:
centroide do aço:
- área do alumínio transformada para aço:
centroide do alumínio (medido da base da aço):
Passo 5
Calcular a posição da linha neutra (centroide da seção transformada) usando a fórmula da média ponderada:
Fazendo as contas:
Interpretação: a linha neutra fica a
acima da face inferior da camada de aço (ou seja, está dentro da camada de aço, 3 mm abaixo da interface aço/alumínio).
Passo 6
Calcular o momento de inércia do retângulo de aço em relação à linha neutra. Primeiro o momento de inércia em torno do seu centróide:
Cálculo:
Distância do centro do aço até a linha neutra:
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
Cálculo do termo paralelo:
Logo:
Passo 7
Calcular o momento de inércia da parte de alumínio já transformada (em equivalente aço) em relação à linha neutra. Primeiro o momento de inércia em torno do seu centróide transformado:
Cálculo:
Distância do centro do alumínio até a linha neutra:
Termo de deslocamento:
Cálculo:
Portanto:
Passo 8
Somar as contribuições do aço real e do alumínio transformado para obter o momento de inércia total da seção equivalente de aço em relação à linha neutra:
Arredondando para uma apresentação apropriada, podemos escrever
.