O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O momento de inércia da seção equivalente de aço em relação à linha neutra, (leq_aço) (em \mathrm{mm}^{4} ):

Passo 1

O que o exercício pede: determinar o momento de inércia da seção equivalente (transformada para aço) em relação à linha neutra, que vou chamar de I_{\text{eq,aço}}ç (em \mathrm{mm}^4).\n
Dados fornecidos:
b=70\\ \mathrm{mm},\quad h_{\text{alum}}=90{,}0\\ \mathrm{mm},\quad h_{\text{aço}}=60{,}0\\ \mathrm{mm},\quad L=4{,}5\\ \mathrm{m},ç
E_{\text{alum}}=75{,}00\\ \mathrm{GPa},\quad E_{\text{aço}}=200{,}00\\ \mathrm{GPa},ç
\sigma_{\text{adm,alum}}=100{,}0\\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_{\text{adm,aço}}=150{,}0\\ \mathrm{MPa}.ç
Observação importante: como o enunciado pede a “seção equivalente de aço”, vou transformar a parte de alumínio numa seção equivalente em aço usando o fator de modularidade e então calcular o momento de inércia total (aço real + alumínio transformado) em relação à linha neutra da seção transformada.

Passo 2

Explicação didática do método (sem pular etapas). Quando temos uma seção composta por materiais com diferentes módulos de elasticidade E e queremos usar a teoria da flexão linear (onde a curvatura é a mesma em toda a seção), é comum transformar uma das partes em uma área equivalente do material de referência multiplicando sua área por
n=\frac{E_{\text{outro}}}{E_{\text{ref}}}.
Aqui escolhemos como referência o aço, portanto transformamos a área do alumínio multiplicando por
n=\frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}.ç
Com as áreas transformadas, determinamos a linha neutra (centroide da seção transformada) pela média ponderada das áreas e então aplicamos o teorema dos eixos paralelos para cada peça (inércia centroidal + A d^2). A fórmula do centroide da seção transformada é
\bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i},
onde A_i são as áreas transformadas e y_i as posições dos centros de área em relação a uma origem escolhida. A fórmula do momento de inércia de um retângulo em torno de seu centróide é
I_{\text{centro}}=\frac{b h^3}{12}.
Depois usamos o teorema dos eixos paralelos: para deslocamento d entre centros,
I_{\text{sobre NA}}=I_{\text{centro}} + A d^2.

Passo 3

Calcular o fator de transformação n:
n=\frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}=\frac{75{,}00}{200{,}00}=0{,}375.ç

Passo 4

Calcular as áreas (em \mathrm{mm}^2) e as posições dos centroides tomando a origem em y=0 na face inferior da camada de aço (ou seja, base da viga):
  • área do aço real:
A_{\text{aço}}=b\cdot h_{\text{aço}}=70\cdot 60=4200\\ \mathrm{mm}^2,çç
centroide do aço:
y_{\text{aço}}=\frac{h_{\text{aço}}}{2}=30\\ \mathrm{mm}.çç
  • área do alumínio transformada para aço:
A_{\text{al,eq}}=n\cdot b\cdot h_{\text{alum}}=0{,}375\cdot 70\cdot 90=2362{,}5\\ \mathrm{mm}^2,
centroide do alumínio (medido da base da aço):
y_{\text{al}}=h_{\text{aço}}+\frac{h_{\text{alum}}}{2}=60+\frac{90}{2}=105\\ \mathrm{mm}.ç

Passo 5

Calcular a posição da linha neutra (centroide da seção transformada) usando a fórmula da média ponderada:
\bar{y}=\frac{A_{\text{aço}}y_{\text{aço}}+A_{\text{al,eq}}y_{\text{al}}}{A_{\text{aço}}+A_{\text{al,eq}}} =\frac{4200\cdot 30 + 2362{,}5\cdot 105}{4200+2362{,}5}.ççç
Fazendo as contas:
4200\cdot 30=126000,\quad 2362{,}5\cdot 105=248062{,}5,
\bar{y}=\frac{126000+248062{,}5}{6562{,}5}=\frac{374062{,}5}{6562{,}5}=57\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a linha neutra fica a 57\\ \mathrm{mm} acima da face inferior da camada de aço (ou seja, está dentro da camada de aço, 3 mm abaixo da interface aço/alumínio).

Passo 6

Calcular o momento de inércia do retângulo de aço em relação à linha neutra. Primeiro o momento de inércia em torno do seu centróide:
I_{\text{aço,centro}}=\frac{b h_{\text{aço}}^3}{12}=\frac{70\cdot 60^3}{12}.çç
Cálculo:
60^3=216000,\quad 70\cdot 216000=15120000,\quad I_{\text{aço,centro}}=\frac{15120000}{12}=1260000\\ \mathrm{mm}^4.ç
Distância do centro do aço até a linha neutra:
d_{\text{aço}}=\bar{y}-y_{\text{aço}}=57-30=27\\ \mathrm{mm}.çç
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
I_{\text{aço,NA}}=I_{\text{aço,centro}}+A_{\text{aço}}d_{\text{aço}}^2 =1260000 + 4200\cdot 27^2.çççç
Cálculo do termo paralelo:
27^2=729,\quad 4200\cdot 729=3061800.
Logo:
I_{\text{aço,NA}}=1260000+3061800=4321800\\ \mathrm{mm}^4.ç

Passo 7

Calcular o momento de inércia da parte de alumínio já transformada (em equivalente aço) em relação à linha neutra. Primeiro o momento de inércia em torno do seu centróide transformado:
I_{\text{al,centro}}^{\text{(eq)}}=n\cdot\frac{b h_{\text{alum}}^3}{12} =0{,}375\cdot\frac{70\cdot 90^3}{12}.
Cálculo:
90^3=729000,\quad 70\cdot 729000=51030000,\quad \frac{51030000}{12}=4252500,
I_{\text{al,centro}}^{\text{(eq)}}=0{,}375\cdot 4252500=1594687{,}5\\ \mathrm{mm}^4.
Distância do centro do alumínio até a linha neutra:
d_{\text{al}}=y_{\text{al}}-\bar{y}=105-57=48\\ \mathrm{mm}.
Termo de deslocamento:
A_{\text{al,eq}} d_{\text{al}}^2 =2362{,}5\cdot 48^2.
Cálculo:
48^2=2304,\quad 2362{,}5\cdot 2304=5443200.
Portanto:
I_{\text{al,NA}}^{\text{(eq)}}=1594687{,}5 + 5443200 =7037887{,}5\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 8

Somar as contribuições do aço real e do alumínio transformado para obter o momento de inércia total da seção equivalente de aço em relação à linha neutra:
I_{\text{eq,aço}}=I_{\text{aço,NA}} + I_{\text{al,NA}}^{\text{(eq)}} =4321800 + 7037887{,}5 =11359687{,}5\\ \mathrm{mm}^4.çç
Arredondando para uma apresentação apropriada, podemos escrever I_{\text{eq,aço}}\approx 1{,}13596875\times 10^{7}\\ \mathrm{mm}^4ç.

Resposta

I_{\text{eq,aço}}=1{,}13596875\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4ç

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