O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O momento de inércia somente do aço em relação à linha neutra, (laço) \left(\mathrm{em} \mathrm{mm}^{4}\right) :

Passo 1

O enunciado fornece uma seção composta por duas lâminas retangulares, uma de alumínio em cima e outra de aço em baixo, com as seguintes informações:
b=70\\ \mathrm{mm},\quad h_{\text{alum}}=90{,}0\\ \mathrm{mm},\quad h_{\text{aço}}=60{,}0\\ \mathrm{mm},ç
E_{\text{alum}}=75{,}00\\ \mathrm{GPa},\quad E_{\text{aço}}=200{,}00\\ \mathrm{GPa}.ç
A tarefa imediata pedida é: determinar o momento de inércia somente do aço em relação à linha neutra da seção composta (em \mathrm{mm}^4).
Informações extras do enunciado (carga w, tensões admissíveis, comprimento L) existem, mas para este item só precisamos das dimensões e dos módulos elásticos acima.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método): para obter o momento de inércia do retângulo de aço em relação à linha neutra da seção composta, primeiro precisamos encontrar a posição da linha neutra da seção composta. Em seções com materiais diferentes a linha neutra é determinada usando a “seção transformada”: transformamos as áreas do material com módulo diferente para uma área equivalente no material de referência (aqui escolhemos o aço como referência). Definições e fórmulas importantes:
  • razão modular (transformação do alumínio para aço): \displaystyle n=\frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}ç.
  • área de um retângulo: \displaystyle A=b\cdot h.
  • coordenada do centróide (medida a partir do mesmo referencial) para cada retângulo.
  • coordenada da linha neutra da seção transformada:
\bar{y}=\frac{\sum A_i^{\text{(trans)}}\,y_i}{\sum A_i^{\text{(trans)}}},
onde A_i^{\text{(trans)}} é a área transformada (para o aço a área permanece igual).
  • momento de inércia do retângulo em torno de seu eixo centroidal horizontal:
I_{\text{centro}}=\frac{b\,h^3}{12}.
  • teorema dos eixos paralelos (para deslocar o I do centróide até a linha neutra):
I_{\text{NA}}=I_{\text{centro}}+A\,d^2,
onde d é a distância entre o centróide do retângulo de aço e a linha neutra \bar{y}.

Passo 3

Calcular a razão modular e as áreas:
n=\frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}=\frac{75{,}00}{200{,}00}=0{,}375.ç
Áreas das duas lâminas:
A_{\text{alum}}=b\,h_{\text{alum}}=70\cdot90=6300\\ \mathrm{mm}^2,
A_{\text{aço}}=b\,h_{\text{aço}}=70\cdot60=4200\\ \mathrm{mm}^2.çç
Área transformada do alumínio (para equivalente em aço):
A_{\text{alum}}^{\text{(trans)}}=n\,A_{\text{alum}}=0{,}375\cdot6300=2362{,}5\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 4

Escolher um referencial vertical para as coordenadas y: use o plano inferior da lâmina de aço (base da seção) como y=0 e positivo para cima. Então as coordenadas dos centróides são:
y_{\text{aço}}=\frac{h_{\text{aço}}}{2}=\frac{60}{2}=30\\ \mathrm{mm},çç
y_{\text{alum}}=h_{\text{aço}}+\frac{h_{\text{alum}}}{2}=60+\frac{90}{2}=60+45=105\\ \mathrm{mm}.ç
Calcular a posição da linha neutra \bar{y} da seção transformada:
\bar{y}=\frac{A_{\text{aço}}\,y_{\text{aço}}+A_{\text{alum}}^{\text{(trans)}}\,y_{\text{alum}}}{A_{\text{aço}}+A_{\text{alum}}^{\text{(trans)}}} =\frac{4200\cdot30+2362{,}5\cdot105}{4200+2362{,}5}.ççç
Calcule numericamente:
4200\cdot30=126000,
2362{,}5\cdot105=248062{,}5,
\text{soma numerador}=126000+248062{,}5=374062{,}5,
\text{soma áreas}=4200+2362{,}5=6562{,}5,á
\bar{y}=\frac{374062{,}5}{6562{,}5}=57\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a linha neutra está a 57\\ \mathrm{mm} acima da base da lâmina de aço. Note que 57\\ \mathrm{mm}<60\\ \mathrm{mm}, logo a linha neutra cai dentro da camada de aço (próxima ao topo do aço).

Passo 5

Determinar a distância d entre o centróide do retângulo de aço e a linha neutra:
d= \bar{y}-y_{\text{aço}}=57-30=27\\ \mathrm{mm}.ç

Passo 6

Calcular o momento de inércia do retângulo de aço em torno do seu eixo centroidal horizontal:
I_{\text{centro,aço}}=\frac{b\,h_{\text{aço}}^3}{12}=\frac{70\cdot60^3}{12}.çç
Cálculo numérico:
60^3=216000,
70\cdot216000=15120000,
I_{\text{centro,aço}}=\frac{15120000}{12}=1260000\\ \mathrm{mm}^4.ç

Passo 7

Aplicar o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia do aço em relação à linha neutra:
I_{\text{aço,NA}}=I_{\text{centro,aço}}+A_{\text{aço}}\,d^2 =1260000+4200\cdot27^2.ççç
Calcule a parcela A_{\text{aço}}\,d^2ç:
27^2=729,\quad 4200\cdot729=3061800.
Somando:
I_{\text{aço,NA}}=1260000+3061800=4321800\\ \mathrm{mm}^4.ç

Resposta

4321800\\ \mathrm{mm}^4

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