O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O momento de inércia da seção equivalente de alumínio em relação à linha neutra, (leq_alum) (em mm
{ }^{4}) ):
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O momento de inércia da seção equivalente de alumínio em relação à linha neutra, (leq_alum) (em mm
{ }^{4}) ):
Passo 1
O enunciado pede: calcular o momento de inércia da seção equivalente de alumínio em relação à linha neutra (I_eq_alum) em mm
. \n
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado e da figura): \n
\n
\n
\n
\n
\n
(As tensões admissíveis e não são necessárias para este passo específico.) \n
O que vamos calcular: o momento de inércia da seção composta transformada para uma “seção equivalente de alumínio” em relação à linha neutra dessa seção transformada.
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado e da figura): \n
(As tensões admissíveis e
O que vamos calcular: o momento de inércia da seção composta transformada para uma “seção equivalente de alumínio” em relação à linha neutra dessa seção transformada.
Passo 2
Explicação do método (transformação de seção composta) e fórmulas essenciais — aula rápida e prática:\n
Quando duas materiais com módulos de elasticidade diferentes formam uma seção composta (alumínio + aço), para determinar a linha neutra e o momento de inércia equivalente é comum transformar as áreas do material 2 numa área equivalente do material 1 multiplicando pela razão dos módulos. Isso permite trabalhar com uma única “seção equivalente” homogênea.\n
Definimos a razão modular (modular ratio) como:
Quando duas materiais com módulos de elasticidade diferentes formam uma seção composta (alumínio + aço), para determinar a linha neutra e o momento de inércia equivalente é comum transformar as áreas do material 2 numa área equivalente do material 1 multiplicando pela razão dos módulos. Isso permite trabalhar com uma única “seção equivalente” homogênea.\n
Definimos a razão modular (modular ratio)
Significado: se
o aço é mais rígido; ao transformar aço para equivalente em alumínio, multiplicamos a área do aço por
.\n
Fórmulas que usaremos:\n
Fórmulas que usaremos:\n
- Área de um retângulo:
, onde é a largura e a altura.\n - Momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroidal paralelo à largura:
, onde as grandezas estão em mm e mm .\n - Teorema dos eixos paralelos (Steiner):
, onde é a distância entre o centroide da peça e o eixo pedido.\n - Centroide da seção transformada (distância
medida a partir da base inferior): , onde é a distância do centroide de cada subárea à referência.
Passo 3
Calcular
e as áreas das duas camadas (alumínio e aço):\n
Área do alumínio:
Área do aço (real):
Área do aço transformada em equivalente de alumínio:
Área total equivalente (toda em termos de alumínio):
Passo 4
Determinar posições dos centroides de cada camada (medidas a partir da base inferior da viga) e a linha neutra
:\n
A base inferior é o fundo do aço; a sequência de baixo para cima é: aço (altura ) e acima o alumínio (
).\n
Centroide do aço (real) medido da base inferior:
A base inferior é o fundo do aço; a sequência de baixo para cima é: aço (altura
Centroide do aço (real) medido da base inferior:
Centroide do alumínio medido da base inferior:
Centroide da seção equivalente (transformada para alumínio):
Calculemos numericamente:
Interpretação: a linha neutra (centroide equivalente) fica a
acima da base inferior (ou
abaixo do topo).
Passo 5
Calcular momentos de inércia centroidais de cada retângulo e aplicar o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia total equivalente em relação à linha neutra:\n
Momento de inércia centroidal do retângulo (fórmula):
Momento de inércia centroidal do retângulo (fórmula):
Para o alumínio (altura
):
Calcule:
Para o aço transformado (usamos a mesma fórmula para o retângulo e depois multiplicamos por
, ou, equivalente, calculamos o
do retângulo e multiplicamos por
):\n
Momento de inércia centroidal do retângulo de aço (antes da transformação):
Momento de inércia centroidal do retângulo de aço (antes da transformação):
Calcule:
Transformando para equivalente de alumínio (multiplicando por
):
Agora aplicamos o teorema dos eixos paralelos para cada parte:
, onde
é a distância entre o centroide da peça e
.\n
Distâncias:
Distâncias:
Termos de Steiner (paralela):
Passo 6
Somar todas as contribuições para obter o momento de inércia equivalente total em relação à linha neutra:\n
Somatório dos momentos centroidais (já com transformação):
Somatório dos momentos centroidais (já com transformação):
Somatório dos termos de Steiner:
Momento de inércia equivalente total: