O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O momento de inércia da seção equivalente de alumínio em relação à linha neutra, (leq_alum) (em mm
{ }^{4}) ):

Passo 1

O enunciado pede: calcular o momento de inércia da seção equivalente de alumínio em relação à linha neutra (I_eq_alum) em mm ^4. \n
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado e da figura): \n
\;b=70\\ \mathrm{mm} \n
\;h_{alum}=90{,}0\\ \mathrm{mm} \n
\;h_{aço}=60{,}0\\ \mathrm{mm}ç \n
\;E_{alum}=75{,}00\\ \mathrm{GPa} \n
\;E_{aço}=200{,}00\\ \mathrm{GPa}ç \n
(As tensões admissíveis e L não são necessárias para este passo específico.) \n
O que vamos calcular: o momento de inércia da seção composta transformada para uma “seção equivalente de alumínio” em relação à linha neutra dessa seção transformada.

Passo 2

Explicação do método (transformação de seção composta) e fórmulas essenciais — aula rápida e prática:\n
Quando duas materiais com módulos de elasticidade diferentes formam uma seção composta (alumínio + aço), para determinar a linha neutra e o momento de inércia equivalente é comum transformar as áreas do material 2 numa área equivalente do material 1 multiplicando pela razão dos módulos. Isso permite trabalhar com uma única “seção equivalente” homogênea.\n
Definimos a razão modular (modular ratio) n como:
n=\frac{E_{aço}}{E_{alum}}.ç
Significado: se n>1 o aço é mais rígido; ao transformar aço para equivalente em alumínio, multiplicamos a área do aço por n.\n
Fórmulas que usaremos:\n
  • Área de um retângulo: \;A=b\cdot h, onde b é a largura e h a altura.\n
  • Momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo centroidal paralelo à largura: \;I_{cent}=\dfrac{b\,h^{3}}{12}, onde as grandezas estão em mm e mm ^4.\n
  • Teorema dos eixos paralelos (Steiner): \;I_{eixo}=I_{cent}+A\cdot d^{2}, onde d é a distância entre o centroide da peça e o eixo pedido.\n
  • Centroide da seção transformada (distância \bar{y} medida a partir da base inferior): \displaystyle \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}, onde y_i é a distância do centroide de cada subárea à referência.

Passo 3

Calcular n e as áreas das duas camadas (alumínio e aço):\n
n=\frac{E_{aço}}{E_{alum}}=\frac{200{,}00}{75{,}00}=\frac{200}{75}=\frac{8}{3}\approx 2{,}6666667.ç
Área do alumínio:
A_{al} = b\cdot h_{alum} = 70\cdot 90 = 6300\\ \mathrm{mm}^2.
Área do aço (real):
A_{aço} = b\cdot h_{aço} = 70\cdot 60 = 4200\\ \mathrm{mm}^2.çç
Área do aço transformada em equivalente de alumínio:
A_{aço}^{eq} = n\cdot A_{aço} = \frac{8}{3}\cdot 4200 = 11200\\ \mathrm{mm}^2.çç
Área total equivalente (toda em termos de alumínio):
A_{tot}^{eq} = A_{al} + A_{aço}^{eq} = 6300 + 11200 = 17500\\ \mathrm{mm}^2.ç

Passo 4

Determinar posições dos centroides de cada camada (medidas a partir da base inferior da viga) e a linha neutra \bar{y}:\n
A base inferior é o fundo do aço; a sequência de baixo para cima é: aço (altura \;h_{aço}ç) e acima o alumínio ( h_{alum}).\n
Centroide do aço (real) medido da base inferior:
y_{aço} = \frac{h_{aço}}{2} = \frac{60}{2} = 30\\ \mathrm{mm}.çç
Centroide do alumínio medido da base inferior:
y_{al} = h_{aço} + \frac{h_{alum}}{2} = 60 + \frac{90}{2} = 60 + 45 = 105\\ \mathrm{mm}.ç
Centroide da seção equivalente (transformada para alumínio):
\bar{y}=\frac{A_{al}\,y_{al} + A_{aço}^{eq}\,y_{aço}}{A_{tot}^{eq}} =\frac{6300\cdot 105 + 11200\cdot 30}{17500}.çç
Calculemos numericamente:
6300\cdot 105 = 661500,\qquad 11200\cdot 30 = 336000,
\bar{y}=\frac{661500+336000}{17500}=\frac{997500}{17500}=57{,}0\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a linha neutra (centroide equivalente) fica a 57{,}0\\ \mathrm{mm} acima da base inferior (ou 150-57=93\\ \mathrm{mm} abaixo do topo).

Passo 5

Calcular momentos de inércia centroidais de cada retângulo e aplicar o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia total equivalente em relação à linha neutra:\n
Momento de inércia centroidal do retângulo (fórmula):
I_{cent}=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Para o alumínio (altura 90\\ \mathrm{mm}):
I_{al}^{cent}=\frac{70\cdot 90^{3}}{12}.
Calcule:
90^{3}=729000,\qquad 70\cdot 729000=51\,030\,000,
I_{al}^{cent}=\frac{51\,030\,000}{12}=4\,252\,500\\ \mathrm{mm}^4.
Para o aço transformado (usamos a mesma fórmula para o retângulo e depois multiplicamos por n, ou, equivalente, calculamos o I_{cent} do retângulo e multiplicamos por n):\n
Momento de inércia centroidal do retângulo de aço (antes da transformação):
I_{aço}^{cent,real}=\frac{70\cdot 60^{3}}{12}.ç
Calcule:
60^{3}=216000,\qquad 70\cdot 216000=15\,120\,000,
I_{aço}^{cent,real}=\frac{15\,120\,000}{12}=1\,260\,000\\ \mathrm{mm}^4.ç
Transformando para equivalente de alumínio (multiplicando por n):
I_{aço}^{cent,eq}=n\cdot I_{aço}^{cent,real}=\frac{8}{3}\cdot 1\,260\,000=3\,360\,000\\ \mathrm{mm}^4.çç
Agora aplicamos o teorema dos eixos paralelos para cada parte: \;I=I_{cent}+A\cdot d^{2}, onde d é a distância entre o centroide da peça e \bar{y}.\n
Distâncias:
d_{al}=|y_{al}-\bar{y}|=105-57=48\\ \mathrm{mm},
d_{aço}=|\bar{y}-y_{aço}|=57-30=27\\ \mathrm{mm}.çç
Termos de Steiner (paralela):
A_{al}\,d_{al}^{2}=6300\cdot 48^{2}=6300\cdot 2304=14\,515\,200\\ \mathrm{mm}^4,
A_{aço}^{eq}\,d_{aço}^{2}=11200\cdot 27^{2}=11200\cdot 729=8\,164\,800\\ \mathrm{mm}^4.çç

Passo 6

Somar todas as contribuições para obter o momento de inércia equivalente total em relação à linha neutra:\n
Somatório dos momentos centroidais (já com transformação):
I_{cent,total}=I_{al}^{cent}+I_{aço}^{cent,eq}=4\,252\,500 + 3\,360\,000 = 7\,612\,500\\ \mathrm{mm}^4.ç
Somatório dos termos de Steiner:
S_{Steiner}=14\,515\,200 + 8\,164\,800 = 22\,680\,000\\ \mathrm{mm}^4.
Momento de inércia equivalente total:
I_{eq}^{(al)}=I_{cent,total}+S_{Steiner}=7\,612\,500 + 22\,680\,000 = 30\,292\,500\\ \mathrm{mm}^4.

Resposta

\;I_{eq}^{(al)}=30\,292\,500\\ \mathrm{mm}^4

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