O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
O máximo momento admissível que pode ser aplicado à viga considerando a tensão admissível no aço, (Madm_aço) (em kN.m):

Passo 1

  • O enunciado pede: determinar o máximo momento admissível que pode ser aplicado à viga considerando a tensão admissível no aço (Madm_aço) em \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Dados fornecidos (peguei esses valores do enunciado / figura):
    \;b=70\\ \text{mm}
    \;h_{\text{alum}}=90{,}0\\ \text{mm}
    \;h_{\text{aço}}=60{,}0\\ \text{mm}ç
    \;E_{\text{alum}}=75{,}00\\ \text{GPa}
    \;E_{\text{aço}}=200{,}00\\ \text{GPa}ç
    \;v_{\text{adm\_alum}}=100{,}0\\ \text{MPa} (não usada aqui)
    \;v_{\text{adm\_aço}}=150{,}0\\ \text{MPa}ç (limite que vamos usar)
  • Observações importantes sobre o que vamos fazer (não resolvendo ainda): precisamos achar a posição do eixo neutro da seção composta (usando o módulo de elasticidade de cada material), calcular a rigidez à flexão equivalente \sum E_i I_i em relação ao eixo neutro, e então relacionar o momento fletor M com a tensão máxima no aço por meio da fórmula de flexão linear.

Passo 2

  • Conceito básico (em linguagem simples): quando uma viga composta por materiais diferentes é submetida à flexão, as deformações são lineares com a distância ao eixo neutro (a hipótese de secções planas permanece plana). Cada material tem um módulo de elasticidade E diferente, então para localizar o eixo neutro devemos “pesar” as áreas pela rigidez E\cdot A. A posição do eixo neutro y_{NA} (medida desde a base que escolhermos) é dada por:
y_{NA}=\frac{\sum_i E_i A_i y_{i}}{\sum_i E_i A_i},
onde A_i é a área da parte i e y_i é a posição do centróide dessa parte medida desde a mesma referência.
  • Vamos tomar a referência y=0 na face inferior da lâmina de aço (base inferior da seção) e medir y para cima.

Passo 3

  • Calcular áreas e posições dos centróides (tudo em mm e MPa para consistência: 1\\ \text{GPa}=1000\\ \text{MPa}, e 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^2): A_{\text{aço}}=b\cdot h_{\text{aço}}=70\cdot60=4200\\ \text{mm}^2,çç
A_{\text{alum}}=b\cdot h_{\text{alum}}=70\cdot90=6300\\ \text{mm}^2.
Centróides (distância desde a base inferior):
y_{\text{aço}}=\frac{h_{\text{aço}}}{2}=\frac{60}{2}=30\\ \text{mm},çç
y_{\text{alum}}=h_{\text{aço}}+\frac{h_{\text{alum}}}{2}=60+\frac{90}{2}=60+45=105\\ \text{mm}.ç
Converter E para \text{MPa}:
E_{\text{aço}}=200{,}000\\ \text{MPa},\qquad E_{\text{alum}}=75{,}000\\ \text{MPa}.ç

Passo 4

  • Calcular a posição do eixo neutro usando a fórmula apresentada:
y_{NA}=\frac{E_{\text{aço}}A_{\text{aço}}y_{\text{aço}}+E_{\text{alum}}A_{\text{alum}}y_{\text{alum}}} {E_{\text{aço}}A_{\text{aço}}+E_{\text{alum}}A_{\text{alum}}}.ççççç
  • Substituindo valores:
E_{\text{aço}}A_{\text{aço}}y_{\text{aço}}=200000\cdot4200\cdot30=25\,200\,000\,000,ççç
E_{\text{alum}}A_{\text{alum}}y_{\text{alum}}=75000\cdot6300\cdot105=49\,612\,500\,000,
E_{\text{aço}}A_{\text{aço}}=200000\cdot4200=840\,000\,000,çç
E_{\text{alum}}A_{\text{alum}}=75000\cdot6300=472\,500\,000.
y_{NA}=\frac{25\,200\,000\,000+49\,612\,500\,000}{840\,000\,000+472\,500\,000} =\frac{74\,812\,500\,000}{1\,312\,500\,000}=57{,}0\\ \text{mm}.
  • Interpretação: o eixo neutro está a 57{,}0\\ \text{mm} acima da face inferior (ou seja, fica dentro da lâmina de aço, pois h_{\text{aço}}=60\\ \text{mm}ç). A distância do eixo neutro à fibra inferior (fundo do aço) é y_{inf}=57{,}0\\ \text{mm}.

Passo 5

  • Próximo passo: calcular a rigidez à flexão total da seção composta em relação ao eixo neutro, ou seja
(EI)_{\text{total}}=\sum_i E_i I_{i,NA},
onde I_{i,NA}=I_{i,centroidal}+A_i d_i^2 (teorema dos eixos paralelos) e d_i é a distância do centróide de cada parte até o eixo neutro.
  • Fórmula do momento de inércia centroidal de um retângulo (em torno de um eixo paralelo à base, passando pelo seu centróide):
I_{cent}=\frac{b h^3}{12}.

Passo 6

  • Calcular para o aço: I_{\text{aço,cent}}=\frac{70\cdot60^3}{12}=\frac{70\cdot216000}{12}=1\,260\,000\\ \text{mm}^4.çDistância do centróide do aço ao NA: d_{\text{aço}}=y_{\text{aço}}-y_{NA}=30-57=-27\\ \text{mm}\quad(\text{módulo }27\\ \text{mm}).ççóTermo de deslocamento: A_{\text{aço}} d_{\text{aço}}^2=4200\cdot27^2=4200\cdot729=3\,061\,800\\ \text{mm}^4.ççLogo I_{\text{aço,NA}}=1\,260\,000+3\,061\,800=4\,321\,800\\ \text{mm}^4.çMultiplicando pelo E: E_{\text{aço}}I_{\text{aço,NA}}=200000\cdot4\,321\,800=864\,360\,000\,000.çç

Passo 7

  • Calcular para o alumínio: I_{\text{alum,cent}}=\frac{70\cdot90^3}{12}=\frac{70\cdot729000}{12}=4\,252\,500\\ \text{mm}^4.Distância do centróide do alumínio ao NA: d_{\text{alum}}=y_{\text{alum}}-y_{NA}=105-57=48\\ \text{mm}.Termo de deslocamento: A_{\text{alum}} d_{\text{alum}}^2=6300\cdot48^2=6300\cdot2304=14\,515\,200\\ \text{mm}^4.Logo I_{\text{alum,NA}}=4\,252\,500+14\,515\,200=18\,767\,700\\ \text{mm}^4.Multiplicando pelo E: E_{\text{alum}}I_{\text{alum,NA}}=75\,000\cdot18\,767\,700=1\,407\,577\,500\,000.

Passo 8

  • Rigidez à flexão total:
(EI)_{\text{total}}=864\,360\,000\,000+1\,407\,577\,500\,000=2\,271\,937\,500\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}^2.
(lembrando que \text{MPa}\cdot\text{mm}^4 = (\text{N}/\text{mm}^2)\cdot\text{mm}^4 = \text{N}\cdot\text{mm}^2).

Passo 9

  • Relação entre momento fletor M, curvatura \kappa e tensão em fibra: para uma fibra à distância y do eixo neutro, a tensão é
\sigma=E\kappa y,
com \kappa=M/(EI)_{\text{total}}. Logo, a tensão máxima no fundo do aço (distância y_{inf}=y_{NA}=57{,}0\\ \text{mm}) é
\sigma_{\text{aço,max}}=E_{\text{aço}}\frac{M}{(EI)_{\text{total}}}y_{inf}.çç
Queremos o M tal que \sigma_{\text{aço,max}}=v_{\text{adm\_aço}}=150{,}0\\ \text{MPa}çç. Então isolamos M:
M_{\text{adm,aço}}=\frac{v_{\text{adm\_aço}}\,(EI)_{\text{total}}}{E_{\text{aço}}\,y_{inf}}.ççç

Passo 10

  • Substituindo os valores numéricos (todas unidades consistentes: \text{MPa}=\text{N}/\text{mm}^2, mplay com mm):
M_{\text{adm,aço}}=\frac{150{,}0\cdot2\,271\,937\,500\,000}{200000\cdot57{,}0}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.ç
  • Calcule passo a passo: \frac{(EI)_{\text{total}}}{E_{\text{aço}}}=\frac{2\,271\,937\,500\,000}{200000}=11\,359\,687{,}5,ç
\frac{11\,359\,687{,}5}{57{,}0}=199\,292{,}7631578947,
M_{\text{adm,aço}}=150{,}0\cdot199\,292{,}7631578947=29\,893\,914{,}47368421\\ \text{N}\cdot\text{mm}.ç
  • Converter para \text{kN}\cdot\text{m}: dividir por 10^6:
M_{\text{adm,aço}}= \frac{29\,893\,914{,}47368421}{10^6}=29{,}89391447368421\\ \text{kN}\cdot\text{m}\approx29{,}894\\ \text{kN}\cdot\text{m}.ç

Resposta

29{,}894\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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