O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
A máxima intensidade admissível da carga distribuída atuando na viga (w) (em kN/m):

Passo 1

O enunciado dá uma viga bi‑material (alumínio no segmento superior e aço no inferior) com carregamento uniformemente distribuído w ao longo do vão simplesmente apoiado. A tarefa é determinar a máxima intensidade admissível w (em kN/m) antes que alguma das duas matérias atinja sua tensão admissível. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &b=70\\ \text{mm},\\\ &h_{\text{alum}}=90{,}0\\ \text{mm},\\\ &h_{\text{aço}}=60{,}0\\ \text{mm},\\\ &L=4{,}5\\ \text{m}=4500\\ \text{mm},\\\ &E_{\text{alum}}=75{,}00\\ \text{GPa}=75\,000\\ \text{N/mm}^2,\\\ &E_{\text{aço}}=200{,}00\\ \text{GPa}=200\,000\\ \text{N/mm}^2,\\\ &\sigma_{\text{adm, alum}}=100{,}0\\ \text{MPa}=100\\ \text{N/mm}^2,\\\ &\sigma_{\text{adm, aço}}=150{,}0\\ \text{MPa}=150\\ \text{N/mm}^2. \end{aligned}ççç
O que se pede: a máxima intensidade w (em kN/m) tal que nenhuma das tensões de flexão exceda seu valor admissível.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (resumida): para vigas compostas com dois módulos de elasticidade distintos vamos usar a “seção transformada” (transformar uma matéria na outra pelo módulo) para encontrar o eixo neutro transformado e o momento de inércia transformado I'. Depois, relacionamos o momento fletor M com a curvatura e calculamos a tensão máxima em cada material. A condição admissível é que nem o alumínio nem o aço excedam suas tensões admissíveis; o w máximo é obtido a partir do menor M crítico entre esses dois limites, usando M_{\max} = wL^2/8 (viga biapoiada com carga uniformemente distribuída). Não se preocupe com o nome técnico — vou explicar cada fórmula que uso.

Passo 3

Transformação da seção (escolha da referência e cálculo da razão modular): escolhemos o aço como referência ( E_{\text{ref}}=E_{\text{aço}}ç). A razão modular (fator de transformação) para o alumínio é
n=\frac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}=\frac{75\,000}{200\,000}=0{,}375.ç
Isto significa que, ao transformar a região de alumínio para uma seção equivalente em “aço”, as áreas e os momentos de inércia da parte de alumínio são multiplicados por n.

Passo 4

Cálculo das áreas transformadas e localizações dos centroides (todas as áreas em \text{mm}^2 e distâncias em \text{mm}):
  • Área real do aço:
A_{\text{aço}}=b\,h_{\text{aço}}=70\cdot 60=4200\\ \text{mm}^2.çç
  • Área transformada do alumínio:
A'_{\text{alum}}=n\;b\;h_{\text{alum}}=0{,}375\cdot 70\cdot 90=2362{,}5\\ \text{mm}^2.
Posições dos centroides (medidas a partir da base inferior da viga, y=0 na face inferior do aço):
  • centroide do aço: y_{\text{aço}}=\dfrac{h_{\text{aço}}}{2}=\dfrac{60}{2}=30\\ \text{mm}.çç
  • centroide do alumínio: y_{\text{alum}}=h_{\text{aço}}+\dfrac{h_{\text{alum}}}{2}=60+\dfrac{90}{2}=105\\ \text{mm}.ç

Passo 5

Cálculo da posição do eixo neutro transformado \bar y (distância do fundo):
\bar y=\frac{A_{\text{aço}}\,y_{\text{aço}} + A'_{\text{alum}}\,y_{\text{alum}}}{A_{\text{aço}} + A'_{\text{alum}}} =\frac{4200\cdot 30 + 2362{,}5\cdot 105}{4200+2362{,}5}.ççç
Calculemos numericamente:
4200\cdot 30=126\,000,\qquad 2362{,}5\cdot 105=248\,062{,}5,
\text{denominador}=4200+2362{,}5=6562{,}5,
\bar y=\frac{374\,062{,}5}{6562{,}5}=57{,}0\\ \text{mm}.
Observação útil: \bar y=57{,}0\\ \text{mm} fica dentro da camada de aço (pois h_{\text{aço}}=60\\ \text{mm}ç), ou seja, o eixo neutro real está a 3{,}0\\ \text{mm} abaixo da face superior da camada de aço.

Passo 6

Distâncias dos pontos mais afastados (fibras exteriores) ao eixo neutro (essenciais para tensão de flexão):
  • distância do eixo neutro até a fibra superior (topo do alumínio):
c_{\text{sup}}=y_{\text{topo}}-\bar y=(h_{\text{aço}}+h_{\text{alum}})-\bar y=150-57=93\\ \text{mm}.ç
(onde h_{\text{aço}}+h_{\text{alum}}=60+90=150\\ \text{mm}ç)
  • distância do eixo neutro até a fibra inferior (base do aço):
c_{\text{inf}}=\bar y-0=57\\ \text{mm}.

Passo 7

Cálculo do momento de inércia transformado I' em relação ao eixo neutro: somamos os momentos de inércia transformados de cada placa (inércia em torno do próprio centro mais termo de eixo paralelo).
  1. Para o retângulo de aço (não transformado, pois é referência):
I_{\text{aço,centro}}=\frac{b\,h_{\text{aço}}^3}{12}=\frac{70\cdot 60^3}{12}.çç
Calcule:
60^3=216\,000,\quad 70\cdot 216\,000=15\,120\,000,\quad I_{\text{aço,centro}}=\frac{15\,120\,000}{12}=1\,260\,000\\ \text{mm}^4.ç
Termo paralelo:
A_{\text{aço}}( \bar y - y_{\text{aço}})^2 =4200\cdot(57-30)^2=4200\cdot 27^2=4200\cdot 729=3\,061\,800\\ \text{mm}^4.çç
Portanto
I'_{\text{aço}}=1\,260\,000+3\,061\,800=4\,321\,800\\ \text{mm}^4.ç
  1. Para o alumínio (transformado multiplicando por n):
    Momento de inércia central transformado:
I'_{\text{alum,centro}}=n\cdot \frac{b\,h_{\text{alum}}^3}{12}=0{,}375\cdot\frac{70\cdot 90^3}{12}.
Calcule:
90^3=729\,000,\quad 70\cdot 729\,000=51\,030\,000,\quad \frac{51\,030\,000}{12}=4\,252\,500,
I'_{\text{alum,centro}}=0{,}375\cdot 4\,252\,500=1\,594\,687{,}5\\ \text{mm}^4.
Termo paralelo (usando a área transformada A'_{\text{alum}}=2362{,}5 e distância 48\\ \text{mm} entre centroides):
\text{distância} = y_{\text{alum}}-\bar y=105-57=48\\ \text{mm},â
A'_{\text{alum}}(48)^2 =2362{,}5\cdot 2304=5\,443\,200\\ \text{mm}^4.
Portanto
I'_{\text{alum}}=1\,594\,687{,}5 +5\,443\,200=7\,037\,887{,}5\\ \text{mm}^4.
Somando as duas contribuições:
I' = I'_{\text{aço}} + I'_{\text{alum}} =4\,321\,800 +7\,037\,887{,}5 =11\,359\,687{,}5\\ \text{mm}^4.ç

Passo 8

Expressão da tensão de flexão usando a seção transformada: ao usar o aço como referência, a curvatura \kappa satisfaz
\kappa = \frac{M}{E_{\text{aço}}\,I'}.ç
A tensão em uma fibra a distância y do eixo neutro, em um material com módulo E, é
\sigma = E\;\kappa\;y = \frac{E}{E_{\text{aço}}}\;\frac{M\,y}{I'}.ç
Logo:
  • para o aço ( E/E_{\text{aço}}=1ç ):
\sigma_{\text{aço}}(y)=\frac{M\,y}{I'}.ç
  • para o alumínio ( E/E_{\text{aço}}=nç ):
\sigma_{\text{alum}}(y)=n\;\frac{M\,y}{I'}.
As tensões máximas ocorrerão nas fibras mais afastadas:
\sigma_{\text{aço,max}}=\frac{M\;c_{\text{inf}}}{I'}=\frac{M\cdot 57}{I'}, \qquad \sigma_{\text{alum,max}}=n\;\frac{M\;c_{\text{sup}}}{I'}=0{,}375\cdot\frac{M\cdot 93}{I'}.ç

Passo 9

Determinar o momento máximo admissível M a partir de cada material (impondo \sigma_{\max}=\sigma_{\text{adm}}):
  1. Limite pelo aço:
M_{\text{aço,adm}}=\frac{\sigma_{\text{adm,aço}}\;I'}{c_{\text{inf}}} =\frac{150\cdot 11\,359\,687{,}5}{57}.çç
Calcule numericamente:
150\cdot 11\,359\,687{,}5 =1\,703\,953\,125,
M_{\text{aço,adm}}=\frac{1\,703\,953\,125}{57}=29\,893\,914{,}47\\ \text{N}\cdot\text{mm}.ç
  1. Limite pelo alumínio:
M_{\text{alum,adm}}=\frac{\sigma_{\text{adm,alum}}\;I'}{n\;c_{\text{sup}}} =\frac{100\cdot 11\,359\,687{,}5}{0{,}375\cdot 93}.
Calcule numericamente:
0{,}375\cdot 93=34{,}875,
100\cdot 11\,359\,687{,}5 =1\,135\,968\,750,
M_{\text{alum,adm}}=\frac{1\,135\,968\,750}{34{,}875}=32\,572\,580{,}~\text{aprox.}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Comparando: M_{\text{aço,adm}}\approx 29{,}893{,}914{,}5\\ \text{N}\cdot\text{mm}ç é menor que M_{\text{alum,adm}}\approx 32{,}572{,}580\\ \text{N}\cdot\text{mm}. Portanto o aço atinge primeiro seu limite admissível e governa o projeto.

Passo 10

Relacionar o momento máximo da viga com a carga distribuída w. Para uma viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída w (força por comprimento), o momento máximo no meio do vão é
M_{\max}=\frac{w L^2}{8}.
Isolando w:
w=\frac{8M_{\max}}{L^2}.
Usaremos M_{\max}=M_{\text{aço,adm}}=29\,893\,914{,}47\\ \text{N}\cdot\text{mm}ç e L=4500\\ \text{mm}. Então
w=\frac{8\cdot 29\,893\,914{,}47}{4500^2} =\frac{239\,151\,315{,}76}{20\,250\,000}=11{,}816\\ \text{N/mm}.
Conversão de unidades: 1\\ \text{N/mm}=1000\\ \text{N/m}=1\\ \text{kN/m}. Logo
w=11{,}816\\ \text{kN/m}\approx 11{,}82\\ \text{kN/m}.

Resposta

11,82 kN/m

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