O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
A máxima intensidade admissível da carga distribuída atuando na viga (w) (em kN/m):
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
A máxima intensidade admissível da carga distribuída atuando na viga (w) (em kN/m):
Passo 1
O enunciado dá uma viga bi‑material (alumínio no segmento superior e aço no inferior) com carregamento uniformemente distribuído
ao longo do vão simplesmente apoiado. A tarefa é determinar a máxima intensidade admissível
(em kN/m) antes que alguma das duas matérias atinja sua tensão admissível. Dados fornecidos:
O que se pede: a máxima intensidade
(em kN/m) tal que nenhuma das tensões de flexão exceda seu valor admissível.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (resumida): para vigas compostas com dois módulos de elasticidade distintos vamos usar a “seção transformada” (transformar uma matéria na outra pelo módulo) para encontrar o eixo neutro transformado e o momento de inércia transformado
. Depois, relacionamos o momento fletor
com a curvatura e calculamos a tensão máxima em cada material. A condição admissível é que nem o alumínio nem o aço excedam suas tensões admissíveis; o
máximo é obtido a partir do menor
crítico entre esses dois limites, usando
(viga biapoiada com carga uniformemente distribuída). Não se preocupe com o nome técnico — vou explicar cada fórmula que uso.
Passo 3
Transformação da seção (escolha da referência e cálculo da razão modular): escolhemos o aço como referência (
). A razão modular (fator de transformação) para o alumínio é
Isto significa que, ao transformar a região de alumínio para uma seção equivalente em “aço”, as áreas e os momentos de inércia da parte de alumínio são multiplicados por
.
Passo 4
Cálculo das áreas transformadas e localizações dos centroides (todas as áreas em
e distâncias em
):
- Área real do aço:
- Área transformada do alumínio:
Posições dos centroides (medidas a partir da base inferior da viga,
na face inferior do aço):
- centroide do aço:
- centroide do alumínio:
Passo 5
Cálculo da posição do eixo neutro transformado
(distância do fundo):
Calculemos numericamente:
Observação útil:
fica dentro da camada de aço (pois
), ou seja, o eixo neutro real está a
abaixo da face superior da camada de aço.
Passo 6
Distâncias dos pontos mais afastados (fibras exteriores) ao eixo neutro (essenciais para tensão de flexão):
- distância do eixo neutro até a fibra superior (topo do alumínio):
(onde
)
- distância do eixo neutro até a fibra inferior (base do aço):
Passo 7
Cálculo do momento de inércia transformado
em relação ao eixo neutro: somamos os momentos de inércia transformados de cada placa (inércia em torno do próprio centro mais termo de eixo paralelo).
- Para o retângulo de aço (não transformado, pois é referência):
Calcule:
Termo paralelo:
Portanto
- Para o alumínio (transformado multiplicando por
):
Momento de inércia central transformado:
Calcule:
Termo paralelo (usando a área transformada
e distância
entre centroides):
Portanto
Somando as duas contribuições:
Passo 8
Expressão da tensão de flexão usando a seção transformada: ao usar o aço como referência, a curvatura
satisfaz
A tensão em uma fibra a distância
do eixo neutro, em um material com módulo
, é
Logo:
- para o aço (
):
- para o alumínio (
):
As tensões máximas ocorrerão nas fibras mais afastadas:
Passo 9
Determinar o momento máximo admissível
a partir de cada material (impondo
):
- Limite pelo aço:
Calcule numericamente:
- Limite pelo alumínio:
Calcule numericamente:
Comparando:
é menor que
. Portanto o aço atinge primeiro seu limite admissível e governa o projeto.
Passo 10
Relacionar o momento máximo da viga com a carga distribuída
. Para uma viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída
(força por comprimento), o momento máximo no meio do vão é
Isolando
:
Usaremos
e
. Então
Conversão de unidades:
. Logo
Resposta
11,82 kN/m