O segmento superior, da seção transversal da viga de materiais diferentes, é feita de uma liga de alumínio 2014-T6 e o segmento inferior é de aço A-36. Se as tensões admissíveis do aluminio e do aço são respectivamente oadm_alum e oadm_aço, determinar a máxima intensidade admissível da carga distribuida w atuando na viga. Dados b=70 mm; halum=90,0 mm; haço=60,0 mm; L=4,5 m; Ealum
=75,00 \mathrm{GPa}; Eaço=200,00 GPa; vadm_alum=100,0 MPa; vadm_aço=150,0 MPa . Determinar na seguinte ordem:
Utilizando o momento Mmax , a tensão normal atuante no ponto B no aço, \sigma B_aço (em MPa):

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos (extraídos do enunciado e da figura):\n
  • Pedidos: determinar a tensão normal atuante no ponto B no aço, \sigma_{B,\text{aço}}ç, usando o momento máximo M_{\max} causado pela carga distribuída \,w.\n
  • Dados geométricos e materiais (todos usados):\n - largura da seção: b=70\\ \text{mm}\n - altura do alumínio: h_{\text{alum}}=90{,}0\\ \text{mm}\n - altura do aço: h_{\text{aço}}=60{,}0\\ \text{mm}ç\n - vão da viga: L=4{,}5\\ \text{m}=4500\\ \text{mm}\n - módulo de Young do alumínio: E_{\text{alum}}=75{,}00\\ \text{GPa}\n - módulo de Young do aço: E_{\text{aço}}=200{,}00\\ \text{GPa}ç\n - tensões admissíveis (não usadas neste passo, mas dadas): v_{\text{adm,alum}}=100{,}0\\ \text{MPa}, v_{\text{adm,aço}}=150{,}0\\ \text{MPa}ç\n- Informação da figura usada: o ponto B está localizado na face superior do aço (isto é, na interface entre aço e alumínio), portanto sua cota a partir da base é y_B= h_{\text{aço}} = 60\\ \text{mm}ç.\n
    Observação: não inicio resolução neste passo — apenas listei o que o enunciado dá e o que é pedido.

Passo 2

Qual método vamos usar (explicação didática curta):\n
  • Como a seção é composta por dois materiais com E diferentes, usamos o método da seção transformada (transformar uma das matérias para uma equivalente do material de referência) para encontrar o eixo neutro e o momento de inércia efetivo.\n
  • Vou tomar o aço como material de referência (ou seja, transformar o alumínio numa área equivalente de aço). Isso facilita porque, depois de transformar, a relação entre momento e curvatura é M = E_{\text{aço}} I_{\text{trans}} \kappaç, e a tensão no aço a uma distância y do eixo neutro é \sigma_{\text{aço}} = E_{\text{aço}}\kappa y = \dfrac{M\,y}{I_{\text{trans}}}çç.\n
  • Primeiro calculamos razão modular (modular ratio) e a seção transformada.

Passo 3

Calcular razão modular e áreas transformadas (passo-a-passo):\n
  • Razão modular (alumínio transformado para aço):\n n=\dfrac{E_{\text{alum}}}{E_{\text{aço}}}=\dfrac{75{,}00}{200{,}00}=0{,}375.ç\n
  • Áreas originais:\n A_{\text{aço}}=b\,h_{\text{aço}}=70\cdot 60=4200\\ \text{mm}^2,çç\n A_{\text{al}}=b\,h_{\text{alum}}=70\cdot 90=6300\\ \text{mm}^2.\n
  • Área do alumínio transformada para equivalente em aço:\n A_{\text{al,trans}}=n\,A_{\text{al}}=0{,}375\cdot 6300=2362{,}5\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Calcular posições das centroides (a partir da base) e achar o eixo neutro da seção transformada:\n
  • Coordenadas das centroides a partir da base (y medido para cima):\n - aço (retângulo inferior): y_{\text{c,aço}}=\dfrac{h_{\text{aço}}}{2}=\dfrac{60}{2}=30\\ \text{mm}.çç\n - alumínio (retângulo superior): y_{\text{c,al}}=h_{\text{aço}}+\dfrac{h_{\text{alum}}}{2}=60+45=105\\ \text{mm}.ç\n- Eixo neutro da seção transformada (baricentro):\n y_{\text{bar}}=\dfrac{A_{\text{aço}}\,y_{\text{c,aço}}+A_{\text{al,trans}}\,y_{\text{c,al}}}{A_{\text{aço}}+A_{\text{al,trans}}} =\dfrac{4200\cdot 30 + 2362{,}5\cdot 105}{4200+2362{,}5}.ççç\n
Calculemos numericamente:\n 4200\cdot 30=126000,\qquad 2362{,}5\cdot 105=248062{,}5,\n \text{soma} = 126000+248062{,}5=374062{,}5,\qquad A_{\text{tot}}=4200+2362{,}5=6562{,}5.\n y_{\text{bar}}=\dfrac{374062{,}5}{6562{,}5}=57\\ \text{mm}.\n
  • Observação geométrica importante: y_{\text{bar}}=57\\ \text{mm} está dentro da placa de aço (que vai de y=0 até y=60), ou seja, o eixo neutro fica a 60-57=3\\ \text{mm} abaixo da interface alumínio/aço. Portanto a distância do eixo neutro até o ponto B (que está na interface, y_B=60\\ \text{mm}) é\n y_B - y_{\text{bar}} = 60-57=3\\ \text{mm}.

Passo 5

Calcular o momento de inércia da seção transformada I_{\text{trans}} em relação ao eixo neutro (passo-a-passo):\n
  • Primeiro momentos de inércia das parcelas em torno dos seus centroides:\n I_{\text{aço,cent}}=\dfrac{b\,h_{\text{aço}}^{3}}{12}=\dfrac{70\cdot 60^{3}}{12} =1\,260\,000\\ \text{mm}^4.çç\n I_{\text{al,cent}}=\dfrac{b\,h_{\text{alum}}^{3}}{12}=\dfrac{70\cdot 90^{3}}{12} =4\,252\,500\\ \text{mm}^4.\n- Distâncias dos centroides ao eixo neutro:\n d_{\text{aço}}=y_{\text{bar}}-y_{\text{c,aço}}=57-30=27\\ \text{mm},çç\n d_{\text{al}}=y_{\text{c,al}}-y_{\text{bar}}=105-57=48\\ \text{mm}.\n- Aplicando o teorema dos eixos paralelos e transformando o alumínio (multiplicando suas contribuições por n):\n I_{\text{trans}}=I_{\text{aço,cent}}+A_{\text{aço}}\,d_{\text{aço}}^{2} + n\left(I_{\text{al,cent}}+A_{\text{al}}\,d_{\text{al}}^{2}\right).ççç\n- Calcule cada termo:\n A_{\text{aço}}\,d_{\text{aço}}^{2}=4200\cdot 27^{2}=4200\cdot 729=3\,061\,800\\ \text{mm}^4,çç\n nI_{\text{al,cent}}=0{,}375\cdot 4\,252\,500=1\,594\,687{,}5\\ \text{mm}^4,\n n\cdot A_{\text{al}}\,d_{\text{al}}^{2}=0{,}375\cdot 6300\cdot 48^{2} =0{,}375\cdot 14\,515\,200=5\,443\,200\\ \text{mm}^4.\n- Somando tudo:\n I_{\text{trans}}=1\,260\,000+3\,061\,800+1\,594\,687{,}5+5\,443\,200 =11\,359\,687{,}5\\ \text{mm}^4.

Passo 6

Expressar o momento máximo M_{\max} em função de w e calcular coeficiente numérico (unidades):\n
  • Para viga biapoiada com carga uniformemente distribuída w (força por unidade de comprimento) temos\n M_{\max}=\dfrac{wL^{2}}{8}.\n
  • Usando L=4500\\ \text{mm}:\n M_{\max}=w\cdot\dfrac{4500^{2}}{8}=w\cdot 2\,531\,250\\ \text{(N·mm)},\nonde aqui w deve estar em \text{N/mm}. Observação prática: 1\\ \text{kN/m}=1000\\ \text{N}/1000\\ \text{mm}=1\\ \text{N/mm}. Assim, se w for fornecido em \text{kN/m} podemos usar diretamente o mesmo número na fórmula (isto é, w em \text{kN/m}\Rightarrow numericamente equiv. a \text{N/mm}).

Passo 7

Calcular a tensão normal no ponto B do aço usando M_{\max}:\n
  • Fórmula da tensão por flexão para o aço (referência = aço, após transformar):\n \sigma_{B,\text{aço}}=\dfrac{M_{\max}\,(y_B-y_{\text{bar}})}{I_{\text{trans}}}ç
(com sinal indicando compressão/tensão; para carregamento para baixo no meio, fibras acima do eixo neutro estão em compressão — aqui B está acima do eixo neutro, então teremos sinal negativo se adotarmos convenção negativa para compressão).\n
  • Substituindo valores numéricos ( y_B-y_{\text{bar}}=3\\ \text{mm}, I_{\text{trans}}=11\,359\,687{,}5\\ \text{mm}^4, M_{\max}=w\cdot 2\,531\,250\\ \text{N·mm}):\n \sigma_{B,\text{aço}}=\dfrac{w\cdot 2\,531\,250\cdot 3}{11\,359\,687{,}5} = w\cdot \dfrac{7\,593\,750}{11\,359\,687{,}5}.ç\n
  • Avaliando a razão numérica:\n \dfrac{7\,593\,750}{11\,359\,687{,}5}\approx 0{,}6689.\n
  • Portanto (incluindo o sinal de compressão por convenção):\n \sigma_{B,\text{aço}} \approx -0{,}6689\,w\\ \text{MPa},ç\nonde w está numericamente em \text{kN/m} (ou em \text{N/mm}) e o resultado está em \text{MPa}=\text{N/mm}^2. Se preferir só o valor absoluto da tensão, |\sigma_{B,\text{aço}}|=0{,}6689\,w\\ \text{MPa}ç.

Resposta

\displaystyle \sigma_{B,\text{aço}}\approx -0{,}6689\,w\\ \text{MPa}ç

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