O seguidor A B pesa 0,75 \mathrm{lb} e tem movimento de vai-e-vem conforme sua extremidade rola na superfície da came, seguindo uma trajetória de equações r=0,2 pé e z =(0,1 \operatorname{sen} \theta) pés. Se a came gira a uma taxa de 6 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine a força na extremidade A do seguidor quando \theta=90^{\circ}. Nessa posição a mola no seguidor está comprimida 0,4 pé. Despreze o atrito no suporte C.

Passo 1

O enunciado pede: "determinar a força na extremidade A do seguidor quando \theta=90^\circ". Informações dadas (listei todas as relevantes):
\text{peso do seguidor }=0,75\\ \text{lb}
r=0{,}2\\ \text{pé (constante)}é
z=0{,}1\sin\theta\\ \text{pé}é
\omega=\dfrac{d\theta}{dt}=6\\ \text{rad/s}
\text{na posição dada a mola está comprimida }x=0{,}4\\ \text{pé}çãáé
\text{despreze atrito no suporte }C
Observações importantes (dados que não aparecem explicitamente no enunciado): para calcular numericamente a força exercida pela mola precisamos da constante elástica k da mola (ou outra informação equivalente). O enunciado não fornece k. Vou, portanto, desenvolver a solução de forma completa e didática levando k simbólico, e no final mostro um exemplo numérico (hipotético) caso assumamos um k particular. Se você tiver o valor de k, basta substituir na expressão final que eu forneço.

Passo 2

Entendendo o movimento e as forças envolvidas (modelo físico):
  • A extremidade A descreve um movimento circular horizontal de raio constante r=0{,}2 pé (porque \theta varia) e ao mesmo tempo se desloca verticalmente conforme z=0{,}1\sin\theta. Logo há duas acelerações a considerar para a massa do seguidor:
    1. aceleração radial (centrípeta) horizontal devido à rotação em torno do eixo: a_r=\omega^2 r;
    2. aceleração vertical (axial) devido à variação de z(t): a_z=\ddot z.
  • As forças que atuam no seguidor (no ponto A) são:
    • força de contato da came sobre o seguidor, que tem uma componente radial (horizontal) e uma componente axial (vertical) — é a força que queremos encontrar (resultado vetorial);
    • força da mola (axial), dada por Hooke: F_s = k x onde x é a compressão ( 0{,}4 pé);
    • peso W=0{,}75 lb (vertical para baixo).
  • Usaremos segunda lei de Newton separada por componentes (horizontal radial e vertical axial) para montar as equações.

Passo 3

Calcular a massa do seguidor a partir do peso (explicando conceito):
  • O peso W é uma força; a massa m (no sistema inglês) é dada por m=W/g, onde g é a aceleração da gravidade em pés/s ^2. Usamos g=32{,}2\\ \text{ft/s}^2.
m=\dfrac{0{,}75}{32{,}2} \\ \text{slug} = 0{,}023291\\ \text{slug} \quad(\text{aprox.})
Explicação curta: dividir o peso pela gravidade nos dá a massa inercial, que multiplica a aceleração para obter forças inerciais.

Passo 4

Componente radial (horizontal) — aceleração centrípeta e força necessária:
  • A aceleração radial é
a_r=\omega^2 r=(6)^2(0{,}2)=36\times 0{,}2=7{,}2\\ \text{ft/s}^2.
  • A força radial (inercial) que a came deve fornecer (módulo) é
F_r = m a_r = 0{,}023291\times 7{,}2 = 0{,}167695\\ \text{lb} \approx 0{,}1677\\ \text{lb}.
Interpretação: essa é a componente horizontal da força no ponto A, dirigida para o centro da rotação (ou seja, é a força que mantém o movimento circular).

Passo 5

Componente axial (vertical) — derivadas de z(t) e força vertical inercial:
  • Primeiro escrevemos z(t). Como \theta=\omega t,
z(t)=0{,}1\sin(\omega t).
  • Velocidade vertical:
\dot z(t)=0{,}1\omega\cos(\omega t).
  • Aceleração vertical:
\ddot z(t) = -0{,}1\omega^2\sin(\omega t).
  • Avaliando em \theta=90^\circ (isto é, \sin\theta=1, \cos\theta=0):
a_z=\ddot z\Big|_{\theta=90^\circ}=-0{,}1\times \omega^2 \times 1 = -0{,}1\times 36 = -3{,}6\\ \text{ft/s}^2.
Sinal negativo indica aceleração para baixo neste instante.
  • Força inercial vertical:
F_{inertia,z}=m a_z = 0{,}023291\times(-3{,}6) = -0{,}0838476\\ \text{lb} \approx -0{,}08385\\ \text{lb}.
Interpretação: é uma força efetiva para baixo de 0{,}08385 lb associada à aceleração vertical.

Passo 6

Força da mola e balanço vertical (explicando Hooke e equilíbrio dinâmico):
  • A força da mola (para cima, se a mola empurra o seguidor contra a came) é dada por Hooke:
F_s = k x = k(0{,}4).
Aqui k está em \text{lb/ft} e x em pés, resultando em lb.
  • Montamos a equação vertical pela segunda lei (escolho sentido positivo para cima). As forças verticais: +F_s (mola para cima), -W (peso para baixo), -F_{c,z} (componente axial da força da came sobre o seguidor; coloco negativa porque é a força da came sobre o seguidor, sentido que pode ser para baixo ou para cima dependendo do sinal final). A soma deve igualar m a_z:
F_s - W - F_{c,z} = m a_z.
Isolando F_{c,z} (componente axial da força da came sobre o seguidor, tomando sinal positivo para cima):
F_{c,z} = F_s - W - m a_z.
  • Substituindo valores numéricos já calculados ( m a_z=-0{,}0838476\\ \text{lb}):
F_{c,z} = 0{,}4k - 0{,}75 - (-0{,}0838476) = 0{,}4k - 0{,}6661524\\ \text{(lb)}.
Interpretação: essa é a componente vertical (axial) da força da came sobre o seguidor, expressa em função de k. Note que, se 0{,}4k - 0{,}66615 for positivo, a came exerce força para cima; se negativo, para baixo.

Passo 7

Força resultante na extremidade A (módulo da resultante das componentes radial e axial):
  • A força da came no ponto A tem duas componentes ortogonais (horizontal radial F_r e vertical axial F_{c,z}), logo o módulo da força resultante é
F_A=\sqrt{F_r^2 + F_{c,z}^2}.
  • Substituindo os valores numéricos das partes que já determinamos:
F_r = 0{,}167695\\ \text{lb},
F_{c,z}=0{,}4k - 0{,}6661524\\ \text{lb}.
Logo
F_A=\sqrt{(0{,}167695)^2 + \big(0{,}4k - 0{,}6661524\big)^2}\\ \text{(lb)}.
Essa expressão é a resposta geral em função de k. Ela contém todas as contribuições: centrípeta (radial), força da mola, peso e inércia vertical.

Passo 8

Exemplo numérico (hipótese útil se você não tiver k): se a mola estivesse comprimida 0{,}4 pé somente para equilibrar o peso do seguidor estaticamente (situação estática simples), então a constante k seria aproximadamente
k=\dfrac{W}{x}=\dfrac{0{,}75}{0{,}4}=1{,}875\\ \text{lb/ft}.
Substituindo esse k na expressão de F_A:
0{,}4k = 0{,}4\times 1{,}875 = 0{,}75,
F_{c,z}=0{,}75 - 0{,}6661524 = 0{,}0838476\\ \text{lb},
F_A=\sqrt{(0{,}167695)^2 + (0{,}0838476)^2} \approx 0{,}1876\\ \text{lb} \approx 0{,}188\\ \text{lb}.
Isto é apenas um exemplo numérico ilustrativo — substitua o k correto, se você tiver, para obter o valor real.

Resposta

F_A=\sqrt{(0{,}167695)^2+\big(0{,}4k-0{,}6661524\big)^2}\\ \text{lb}
(se desejar um valor numérico e assumirmos k=W/x=1{,}875\\ \text{lb/ft}, então)
F_A\approx 0{,}188\\ \text{lb}.

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