The block has a mass of 0.5 kg and moves within the smooth vertical slot. If the block starts from rest when the attached spring is in the unstretched position at A, determine the constant vertical force F which must be applied to the cord so that the block attains a speed v_{B}=2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} when it reaches B ; s_{B}=0.15 \mathrm{~m}. Neglect the mass of the cord and pulley.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força vertical constante F aplicada na extremidade livre do cordão, de modo que o bloco atinja velocidade v_{B}=2{,}5\\ \mathrm{m/s} ao passar por B, que está a uma distância vertical \,s_{B}=0{,}15\\ \mathrm{m} acima de A. Dados fornecidos (peguei estes valores na figura):
  • massa do bloco \,m=0{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • constante da mola \,k=100\\ \mathrm{N/m}.
  • deslocamento entre A e B: \,s=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • distância horizontal entre a linha do slot (onde o bloco se move) e a polia: \,0{,}3\\ \mathrm{m} (peguei da figura).
  • distância vertical entre a polia e o ponto A: \,0{,}3\\ \mathrm{m} (peguei da figura).
  • o bloco parte do repouso em A com a mola no comprimento natural (energia elástica inicial nula).
    O objetivo é achar F. Vou usar conservação de energia (contando o trabalho da força F), pois é a forma mais direta para relacionar trabalho, energia elástica, energia potencial gravitacional e energia cinética final.

Passo 2

Explicação do método (curtinha e didática): como o cordão é inextensível e a polia e corda são sem massa, a tensão no cordão vale F e o trabalho realizado pela força F ao deslocar a extremidade livre é igual a F vezes o aumento da extensão do lado vertical do cordão. Quando o bloco sobe, o comprimento do trecho oblíquo entre bloco e polia diminui; essa diminuição é compensada pelo aumento do comprimento do trecho vertical do cordão (onde F age). Logo, o trabalho fornecido por F durante o movimento A\to B tem módulo igual à redução do comprimento do trecho oblíquo multiplicada por F. Esse trabalho fornece a energia cinética final e compensa o ganho de energia potencial gravitacional do bloco e o aumento da energia elástica da mola.

Passo 3

Geometria do trecho oblíquo: seja l(x) o comprimento do trecho do cordão entre bloco e polia quando o bloco está a uma distância vertical x acima de A. Pela figura (horizontal = 0{,}3\\ \mathrm{m}, distância vertical entre polia e A = 0{,}3\\ \mathrm{m}), temos:
l_A=\sqrt{(0{,}3)^2+(0{,}3)^2}
quando o bloco está em A ( x=0), e
l_B=\sqrt{(0{,}3)^2+(0{,}3-0{,}15)^2}
quando o bloco está em B ( x=s=0{,}15\\ \mathrm{m}). Aqui usei metros em unidades SI; todas as quantidades em \mathrm{m}.

Passo 4

Calculemos l_A e l_B numericamente:
l_A=\sqrt{0{,}3^2+0{,}3^2}=\sqrt{0{,}18}=0{,}4243\\ \mathrm{m}
l_B=\sqrt{0{,}3^2+0{,}15^2}=\sqrt{0{,}1125}=0{,}3354\\ \mathrm{m}
(aproximações mostradas com 4 casas decimais).

Passo 5

A redução do comprimento do trecho oblíquo ao subir de A para B é
\Delta l = l_A-l_B=0{,}4243-0{,}3354=0{,}0889\\ \mathrm{m}.
Esse valor é igual ao aumento do comprimento do lado vertical do cordão, ou seja, a extremidade livre desce essa mesma distância e a força F realiza trabalho W_F=F\,\Delta l.

Passo 6

Escrever a equação de energia (inicial → final). Energia inicial: bloco em repouso, mola sem energia elástica, referência de energia potencial gravitacional arbitrária em A. Energia final em B: energia cinética K_B, energia elástica da mola U_s (a mola ficou esticada de \,s), e energia potencial gravitacional U_g (ganho m g s). O trabalho realizado por F é positivo e vale F\Delta l. Assim:
F\,\Delta l = \tfrac{1}{2}m v_B^2 + \tfrac{1}{2}k s^2 + m g s.
Explicando os termos:
  • \tfrac{1}{2}m v_B^2 = energia cinética final; \,m massa do bloco, \,v_B velocidade em B.
  • \tfrac{1}{2}k s^2 = energia elástica armazenada na mola ao ser esticada de \,s.
  • m g s = aumento da energia potencial gravitacional ao subir \,s.
  • F\Delta l = trabalho realizado pela força constante F cuja linha de ação desce \Delta l.

Passo 7

Agora substituímos valores numéricos. Primeiro os termos da direita:
  • energia cinética:
\tfrac{1}{2}m v_B^2=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot (2{,}5)^2=1{,}5625\\ \mathrm{J}.
  • energia elástica:
\tfrac{1}{2}k s^2=\tfrac{1}{2}\cdot 100\cdot (0{,}15)^2=1{,}125\\ \mathrm{J}.
  • energia potencial gravitacional:
m g s=0{,}5\cdot 9{,}81\cdot 0{,}15=0{,}7358\\ \mathrm{J}.
Somando:
\tfrac{1}{2}m v_B^2 + \tfrac{1}{2}k s^2 + m g s = 1{,}5625 + 1{,}125 + 0{,}7358 = 3{,}4233\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Isolando F na equação do Passo 6:
F=\dfrac{\tfrac{1}{2}m v_B^2 + \tfrac{1}{2}k s^2 + m g s}{\Delta l}.
Substituindo os valores:
F=\dfrac{3{,}4233}{0{,}0889}=38{,}5\\ \mathrm{N}\quad(\text{aprox.}).

Resposta

\,38{,}5\\ \mathrm{N}

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