The block has a mass of 0.5 kg and moves within the smooth vertical slot. If the block starts from rest when the attached spring is in the unstretched position at
, determine the constant vertical force
which must be applied to the cord so that the block attains a speed
when it reaches
. Neglect the mass of the cord and pulley.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a força vertical constante
aplicada na extremidade livre do cordão, de modo que o bloco atinja velocidade
ao passar por
, que está a uma distância vertical
acima de
. Dados fornecidos (peguei estes valores na figura):
- massa do bloco
. - constante da mola
. - deslocamento entre
e : . - distância horizontal entre a linha do slot (onde o bloco se move) e a polia:
(peguei da figura). - distância vertical entre a polia e o ponto
: (peguei da figura). - o bloco parte do repouso em
com a mola no comprimento natural (energia elástica inicial nula).
O objetivo é achar. Vou usar conservação de energia (contando o trabalho da força ), pois é a forma mais direta para relacionar trabalho, energia elástica, energia potencial gravitacional e energia cinética final.
Passo 2
Explicação do método (curtinha e didática): como o cordão é inextensível e a polia e corda são sem massa, a tensão no cordão vale
e o trabalho realizado pela força
ao deslocar a extremidade livre é igual a
vezes o aumento da extensão do lado vertical do cordão. Quando o bloco sobe, o comprimento do trecho oblíquo entre bloco e polia diminui; essa diminuição é compensada pelo aumento do comprimento do trecho vertical do cordão (onde
age). Logo, o trabalho fornecido por
durante o movimento
tem módulo igual à redução do comprimento do trecho oblíquo multiplicada por
. Esse trabalho fornece a energia cinética final e compensa o ganho de energia potencial gravitacional do bloco e o aumento da energia elástica da mola.
Passo 3
Geometria do trecho oblíquo: seja
o comprimento do trecho do cordão entre bloco e polia quando o bloco está a uma distância vertical
acima de
. Pela figura (horizontal =
, distância vertical entre polia e
=
), temos:
quando o bloco está em
(
), e
quando o bloco está em
(
). Aqui usei metros em unidades SI; todas as quantidades em
.
Passo 4
Calculemos
e
numericamente:
(aproximações mostradas com 4 casas decimais).
Passo 5
A redução do comprimento do trecho oblíquo ao subir de
para
é
Esse valor é igual ao aumento do comprimento do lado vertical do cordão, ou seja, a extremidade livre desce essa mesma distância e a força
realiza trabalho
.
Passo 6
Escrever a equação de energia (inicial → final). Energia inicial: bloco em repouso, mola sem energia elástica, referência de energia potencial gravitacional arbitrária em
. Energia final em
: energia cinética
, energia elástica da mola
(a mola ficou esticada de
), e energia potencial gravitacional
(ganho
). O trabalho realizado por
é positivo e vale
. Assim:
Explicando os termos:
-
= energia cinética final; massa do bloco, velocidade em . -
= energia elástica armazenada na mola ao ser esticada de . -
= aumento da energia potencial gravitacional ao subir . -
= trabalho realizado pela força constante cuja linha de ação desce .
Passo 7
Agora substituímos valores numéricos. Primeiro os termos da direita:
- energia cinética:
- energia elástica:
- energia potencial gravitacional:
Somando:
Passo 8
Isolando
na equação do Passo 6:
Substituindo os valores: