Uma sala blindada é projetada de modo que ondas de alta frequência não penetrem dentro da sala. A blindagem é feita de um material não-condutor e não-magnético, com uma fina camada de um material condutor na superfície externa. A blindagem deve reduzir a intensidade do campo elétrico por um fator de 10^{-6} comparado com o campo externo incidente, a uma frequência de 10[\mathrm{MHz}]. A camada condutora pode ser feita de alumínio, cobre ou um polímero condutor. Para o polímero, \varepsilon r=2,5. As condutividades, permeabilidades, custo e densidade dos três materiais são dadas na tabela abaixo. Suponha uma sala cúbica de 5[\mathrm{~m}] de lado (não considerar o piso).
Table 1: Tabela - Condutividades, permeabilidades, custo e densidade dos materiais
\captionsetup{labelformat=empty}
Propriedade Alumínio Cobre Polímero
Condutividade ( \sigma ) [S/m] 3.5 \times 10^{7} 5.8 \times 10^{7} 1.0 \times 10^{5}
Permeabilidade \mu \mu_{\circ} \mu_{\circ} \mu_{\circ}
Densidade [ \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} ] 2.7 8.9 1.2
Custo [R$ / Kg) 30 50 5

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (listei tudo o que veio no enunciado):
  • Pedido: projetar a camada condutora externa de uma blindagem que reduza a intensidade do campo elétrico por um fator de 10^{-6} em relação ao campo incidente, à frequência f=10\\ \mathrm{MHz}. Calcular a espessura necessária da camada para cada material (alumínio, cobre, polímero condutor) e, para uma sala cúbica de lado 5\\ \mathrm{m} (sem considerar o piso), calcular a massa e o custo da camada (usar as densidades e custos da tabela).
  • Dados dos materiais (peguei estes valores da tabela do enunciado):
    • Alumínio: \sigma=3{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}, densidade \rho=2{,}7\\ \mathrm{g/cm^{3}}=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}, custo 30\\ \mathrm{R\$/kg}.
    • Cobre: \sigma=5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}, densidade \rho=8{,}9\\ \mathrm{g/cm^{3}}=8900\\ \mathrm{kg/m^{3}}, custo 50\\ \mathrm{R\$/kg}.
    • Polímero condutor: \sigma=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{S/m}, \varepsilon_r=2{,}5, densidade \rho=1{,}2\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1200\\ \mathrm{kg/m^{3}}, custo 5\\ \mathrm{R\$/kg}.
  • Outras constantes que vou usar:
    • Frequência: f=10\\ \mathrm{MHz}=10\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
    • Pulsação: \omega=2\pi f.
    • Permeabilidade do vácuo: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Geometria da sala:
    • Cubo de lado L=5\\ \mathrm{m}.
    • Área de cada face: A_{\text{face}}=L^{2}=25\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Não considerar o piso \Rightarrow número de faces a revestir: 5.
    • Área total a revestir: A_{\text{total}}=5\times25=125\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas)
  • Quando uma onda eletromagnética incide sobre um condutor, o campo no interior do condutor decai exponencialmente com a profundidade x segundo E(x)=E_{0}\,e^{-x/\delta},onde \delta é a profundidade de penetração (skin depth). Isso significa que, ao atravessar uma espessura t do condutor, o campo fica reduzido por um fator \exp(-t/\delta).
  • Para um bom condutor não magnético, a profundidade de penetração é dada por \delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}.Aqui:
    • \omega=2\pi f é a pulsação (rad/s).
    • \mu é a permeabilidade magnética do material (para os três materiais \mu=\mu_{0} dado no enunciado).
    • \sigma é a condutividade elétrica (S/m).
  • Para obter uma atenuação por um fator A (aqui A=10^{-6}), precisamos de e^{-t/\delta}=A \quad\Rightarrow\quad t=\delta\ln\!\left(\dfrac{1}{A}\right).No nosso caso \ln(1/A)=\ln(10^{6})=6\ln(10)\approx 13{,}815510558.
  • Observação sobre o polímero: o enunciado deu \varepsilon_{r}=2{,}5, mas a atenuação por profundidade no condutor depende fortemente de \sigma e \mu. Como a permeabilidade é \mu_{0} e a condutividade do polímero dada é relativamente alta ( \sigma=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{S/m}), usaremos a mesma fórmula de skin depth. Se o polímero fosse um dielétrico puro com baixa \sigma, o tratamento seria diferente; aqui assumimos que a condutividade fornecida domina o comportamento.

Passo 3

Cálculo de constantes numéricas iniciais (tudo em TeX)
  • Pulsação: \omega=2\pi f=2\pi\times10\times10^{6}=2\pi\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}\approx 6{,}283185307\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Permeabilidade: \mu=\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 1{,}256637061\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Fator de atenuação exigido: \ln\!\left(\dfrac{1}{A}\right)=\ln(10^{6})\approx 13{,}815510558.

Passo 4

Cálculo da profundidade de penetração \delta e da espessura t para o alumínio (passo a passo, contas detalhadas)
  • Dados do alumínio: \sigma_{\text{Al}}=3{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
  • Primeiro calcule \omega\mu_{0}\sigma_{\text{Al}}: \omega\mu_{0}\sigma_{\text{Al}}\approx (6{,}283185307\times10^{7})\times(1{,}256637061\times10^{-6})\times(3{,}5\times10^{7})\approx 2{,}763502022\times10^{9}.
  • Então \delta_{\text{Al}}=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_{0}\sigma_{\text{Al}}}} \approx\sqrt{\dfrac{2}{2{,}763502022\times10^{9}}}\approx 2{,}6893\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.Em unidades mais palatáveis: \delta_{\text{Al}}\approx 26{,}89\\ \mu\mathrm{m}.
  • Espessura exigida: t_{\text{Al}}=\delta_{\text{Al}}\ln\!\left(\dfrac{1}{A}\right)\approx (2{,}6893\times10^{-5})\times13{,}815510558\approx 3{,}716\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.Em milímetros: t_{\text{Al}}\approx 0{,}372\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Cálculo para o cobre (mesma metodologia)
  • Dados do cobre: \sigma_{\text{Cu}}=5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
  • Pode-se calcular \delta_{\text{Cu}} diretamente ou usar proporcionalidade \delta\propto 1/\sqrt{\sigma}. Usarei a proporcionalidade para explicar o passo: \delta_{\text{Cu}}=\delta_{\text{Al}}\sqrt{\dfrac{\sigma_{\text{Al}}}{\sigma_{\text{Cu}}}} =2{,}6893\times10^{-5}\sqrt{\dfrac{3{,}5\times10^{7}}{5{,}8\times10^{7}}} \approx 2{,}089\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.Em micrômetros: \delta_{\text{Cu}}\approx 20{,}89\\ \mu\mathrm{m}.
  • Espessura exigida: t_{\text{Cu}}=\delta_{\text{Cu}}\ln\!\left(\dfrac{1}{A}\right)\approx (2{,}089\times10^{-5})\times13{,}815510558\approx 2{,}887\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.Em milímetros: t_{\text{Cu}}\approx 0{,}289\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo para o polímero condutor (contas detalhadas e observação)
  • Dados do polímero: \sigma_{\text{pol}}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{S/m}.
  • Usando proporcionalidade: \delta_{\text{pol}}=\delta_{\text{Al}}\sqrt{\dfrac{\sigma_{\text{Al}}}{\sigma_{\text{pol}}}} =2{,}6893\times10^{-5}\sqrt{\dfrac{3{,}5\times10^{7}}{1{,}0\times10^{5}}} =2{,}6893\times10^{-5}\sqrt{350}\approx 5{,}0338\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.Em milímetros: \delta_{\text{pol}}\approx 0{,}5034\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura exigida: t_{\text{pol}}=\delta_{\text{pol}}\ln\!\left(\dfrac{1}{A}\right)\approx (5{,}0338\times10^{-4})\times13{,}815510558\approx 6{,}955\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.Em milímetros: t_{\text{pol}}\approx 6{,}96\\ \mathrm{mm}.
  • Observação didática: o polímero exige uma camada muito mais espessa porque sua condutividade é muito menor que a dos metais. Mesmo sendo condutor, a penetração da onda é maior, logo precisa-se de mais material para obter a mesma atenuação exponencial.

Passo 7

Cálculo do volume de camada para a sala (área total já listada no Passo 1)
  • Área total a revestir: A_{\text{total}}=125\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Volume de camada para cada material: V=\;A_{\text{total}}\times t.
    • Alumínio: V_{\text{Al}}=125\times 3{,}716\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 4{,}645\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Cobre: V_{\text{Cu}}=125\times 2{,}887\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 3{,}609\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Polímero: V_{\text{pol}}=125\times 6{,}955\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 8{,}694\times10^{-1}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 8

Cálculo das massas (usar \text{massa}=V\times\rho com \rho em \mathrm{kg/m^{3}})
  • Alumínio ( \rho_{\text{Al}}=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}): m_{\text{Al}}=V_{\text{Al}}\rho_{\text{Al}}\approx (4{,}645\times10^{-2})\times2700\approx 125{,}4\\ \mathrm{kg}.
  • Cobre ( \rho_{\text{Cu}}=8900\\ \mathrm{kg/m^{3}}): m_{\text{Cu}}=V_{\text{Cu}}\rho_{\text{Cu}}\approx (3{,}609\times10^{-2})\times8900\approx 321{,}2\\ \mathrm{kg}.
  • Polímero ( \rho_{\text{pol}}=1200\\ \mathrm{kg/m^{3}}): m_{\text{pol}}=V_{\text{pol}}\rho_{\text{pol}}\approx (8{,}694\times10^{-1})\times1200\approx 1043{,}3\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Cálculo do custo (usar \text{custo}=m\times\text{preço por kg}ç)
  • Alumínio ( 30\\ \mathrm{R\$/kg}): C_{\text{Al}}=125{,}4\times30\approx 3{,}762\\ \times10^{3}\\ \mathrm{R\$}.
  • Cobre ( 50\\ \mathrm{R\$/kg}): C_{\text{Cu}}=321{,}2\times50\approx 1{,}606\times10^{4}\\ \mathrm{R\$}.
  • Polímero ( 5\\ \mathrm{R\$/kg}): C_{\text{pol}}=1043{,}3\times5\approx 5{,}216\\ \times10^{3}\\ \mathrm{R\$}.

Passo 10

Interpretação final e recomendação (resumo e observações práticas, estilo amigo e incentivador)
  • Résumo rápido dos resultados: o cobre precisa da menor espessura (por ter maior \sigma), mas é caro em massa total; o polímero precisa da maior espessura (alguns milímetros), o que resulta em grande massa total e custo intermediário; o alumínio fica no meio em condutividade e fornece a solução mais econômica no conjunto espessura/massa/custo.
  • Para decidir na prática: se o objetivo principal é minimizar custo do material para cobrir a sala, o alumínio é a melhor escolha entre as três opções dadas. Se houver outras restrições (mecânica, facilidade de aplicação, corrosão, compatibilidade, necessidade de aterramento, estética), essas também devem ser consideradas.
  • Observação de engenharia: as espessuras calculadas são da ordem de décimos de milímetro para metais, o que é realista e praticável (folha metálica ou revestimento metálico fino). Para o polímero, espessura de alguns milímetros é plausível, mas precisa-se confirmar aderência, continuidade elétrica e métodos de aplicação para garantir blindagem efetiva (em particular, juntas e emendas devem ser condutoras).
  • Força de ânimo: ótimo — chegamos aqui sem pular passos, e agora você tem as fórmulas e um procedimento direto que dá para aplicar rápido na prova: (1) calcular \delta com \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}, (2) multiplicar por \ln(1/A) para obter t, (3) volume = área × t, (4) massa = volume × \rho, (5) custo = massa × preço/kg. Vai com confiança!

Resposta

Alumínio: espessura t_{\text{Al}}\approx 3{,}72\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (0{,}372\\ \mathrm{mm}); massa m_{\text{Al}}\approx 125{,}4\\ \mathrm{kg}; custo C_{\text{Al}}\approx 3{,}76\times10^{3}\\ \mathrm{R\$}.
Cobre: espessura t_{\text{Cu}}\approx 2{,}89\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (0{,}289\\ \mathrm{mm}); massa m_{\text{Cu}}\approx 321{,}2\\ \mathrm{kg}; custo C_{\text{Cu}}\approx 1{,}61\times10^{4}\\ \mathrm{R\$}.
Polímero: espessura t_{\text{pol}}\approx 6{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (6{,}96\\ \mathrm{mm}); massa m_{\text{pol}}\approx 1043{,}3\\ \mathrm{kg}; custo C_{\text{pol}}\approx 5{,}22\times10^{3}\\ \mathrm{R\$}.

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