A seguinte inequação
, possuio seguinte conjunto solução:
a)
ou
ou
b)
ou
ou
c)
ou
ou
d)
ou
ou
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto de soluções, em
, da inequação
Informações dadas importantes:
- A expressão é um polinômio em
de grau 4. - Queremos todos os
que satisfazem a desigualdade acima. - Há opções de resposta (a), (b), (c), (d) e precisamos identificar qual corresponde ao conjunto solução real da inequação.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha do método): a expressão envolve apenas potências pares de
(
e
), então é natural fazer a substituição
para transformar a inequação em uma inequação em
. Aqui
representa
, por isso vale sempre
. A vantagem é que assim reduzimos uma expressão de grau 4 a uma quadrática em
, que é mais fácil de resolver.
Passo 3
Aplicando a substituição
na inequação, obtemos a inequação em
:
Vamos estudar essa quadrática. Primeiro encontramos as raízes da equação associada
. Para fatorar, buscamos dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Portanto,
Passo 4
Agora resolvemos a inequação fatorada:
Explicação do método (bem didática): o produto de dois fatores é maior ou igual a zero quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos). As raízes da equação são
e
; a parábola correspondente abre para cima, então a solução da inequação é
Mas lembrando que
e portanto
. Interseccionando com
, obtemos
Passo 5
Volta para
usando
.
- Se
, então
Explicação:
significa que o valor absoluto de
é menor ou igual a
, ou seja
, equivalente a
.
- Se
, então
Explicação:
significa
, que corresponde aos
menores ou iguais a
e aos
maiores ou iguais a
.
Unindo as duas partes (união dos conjuntos), o conjunto solução em
é
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, a alternativa que coincide exatamente com o conjunto obtido é a alternativa (a).
Resposta
a)