A seguinte inequação x^{4}-5 x^{2}+4 \geq 0, \mathrm{em} \mathbb{R}, possuio seguinte conjunto solução:
a) S=\{x \in \mathbb{R} / x \leq-2 ou -1 \leq x \leq 1 ou x \geq 2\}
b) S=\{x \in \mathbb{R} / x \geq-2 ou -1 \geq x \leq 1 ou x \geq 4\}
c) S=\{x \in \mathbb{R} / x \leq 4 ou 10 \leq x \leq 11 ou x \leq-1\}
d) S=\{x \in \mathbb{R} / x \leq 2 ou -2 \leq x \leq-1 ou x \geq-2\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de soluções, em \mathbb{R}, da inequação
x^{4}-5x^{2}+4 \geq 0.
Informações dadas importantes:
  • A expressão é um polinômio em x de grau 4.
  • Queremos todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade acima.
  • Há opções de resposta (a), (b), (c), (d) e precisamos identificar qual corresponde ao conjunto solução real da inequação.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha do método): a expressão envolve apenas potências pares de x ( x^{4} e x^{2}), então é natural fazer a substituição
y = x^{2},
para transformar a inequação em uma inequação em y. Aqui y representa x^{2}, por isso vale sempre y \geq 0. A vantagem é que assim reduzimos uma expressão de grau 4 a uma quadrática em y, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicando a substituição y=x^{2} na inequação, obtemos a inequação em y:
y^{2}-5y+4 \geq 0.
Vamos estudar essa quadrática. Primeiro encontramos as raízes da equação associada y^{2}-5y+4=0. Para fatorar, buscamos dois números cujo produto seja 4 e soma seja -5. Esses números são -1 e -4. Portanto,
y^{2}-5y+4=(y-1)(y-4).

Passo 4

Agora resolvemos a inequação fatorada:
(y-1)(y-4) \geq 0.
Explicação do método (bem didática): o produto de dois fatores é maior ou igual a zero quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos). As raízes da equação são y=1 e y=4; a parábola correspondente abre para cima, então a solução da inequação é
y \leq 1 \quad\text{ou}\quad y \geq 4.
Mas lembrando que y=x^{2} e portanto y\ge 0. Interseccionando com y\ge 0, obtemos
0 \leq y \leq 1 \quad\text{ou}\quad y \geq 4.

Passo 5

Volta para x usando y=x^{2}.
  1. Se 0 \leq x^{2} \leq 1, então
-1 \leq x \leq 1.
Explicação: x^{2}\le 1 significa que o valor absoluto de x é menor ou igual a 1, ou seja |x|\le1, equivalente a -1\le x\le1.
  1. Se x^{2} \geq 4, então
x \leq -2 \quad\text{ou}\quad x \geq 2.
Explicação: x^{2}\ge4 significa |x|\ge2, que corresponde aos x menores ou iguais a -2 e aos x maiores ou iguais a 2.
Unindo as duas partes (união dos conjuntos), o conjunto solução em \mathbb{R} é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\le -2\\ \text{ou}\\\ -1\le x\le 1\\ \text{ou}\\ x\ge 2\}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a alternativa que coincide exatamente com o conjunto obtido é a alternativa (a).

Resposta

a) S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le -2\\ \text{ou}\\\ -1\le x\le 1\\ \text{ou}\\ x\ge 2\}

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