Se
, então pode-se determinar que
é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
Perguntas / informações importantes:
- Queremos determinar o conjunto de valores de
que tornam essa desigualdade verdadeira para todo . - O numerador é
. - O denominador é
. - A desigualdade deve valer para todo
real (isto é, globalmente).
Passo 2
Verificação do denominador: antes de multiplicar ambos os lados, precisamos saber o sinal de
para todo
.
Calcule o discriminante da quadrática :
Calcule o discriminante da quadrática
Como
e o coeficiente de
é
, concluímos que
Isso significa que podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade pela expressão
sem mudar o sentido da desigualdade.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
(positivo sempre), obtemos uma desigualdade equivalente:
Agora desenvolva o lado direito:
Passo 4
Faça a subtração para reunir tudo em um lado:
Simplificando termo a termo:
Passo 5
Multiplique por
(isto inverte o sinal da desigualdade):
Agora temos uma condição sobre a quadrática
: ela precisa ser estritamente positiva para todo
.
Passo 6
Teoria necessária (explicação didática):
- Para uma quadrática
com , ela é estritamente positiva para todo se, e somente se, o seu discriminante for negativo.
O discriminante é. - Intuição:
garante que a parábola abre para cima e garante que não corta o eixo , logo está sempre acima de zero. - Alternativa equivalente (útil): o valor mínimo de
ocorre em e o valor mínimo é . Para ser positivo precisamos de , que é a mesma condição que .
Passo 7
Aplique essa condição à nossa
.
Aqui ,
e
.
Calcule o discriminante:
Aqui
Calcule o discriminante:
Queremos
, isto é
Passo 8
Resolva a desigualdade em
:
Isto é equivalente a
Desenvolvendo o valor absoluto:
Somando
em todas as partes:
Passo 9
Interpretação e verificação rápida (confirmação didática):
- A condição
já estava satisfeita, então só precisávamos de . - Portanto para qualquer
com a quadrática tem valor mínimo positivo e assim vale para todo . - Para
fora desse intervalo, a discriminante faria com que existisse com , violando a desigualdade pedida.
Resposta
b)