Se \frac{x^{2}+(m+1) x+1}{x^{2}+x+1}<2 \forall x \in \mathbb{R}, então pode-se determinar que m é:
a) -2<m<1
b) -1<m<3
c) 2<m<8
d) 4<m<5

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
\frac{x^{2}+(m+1)x+1}{x^{2}+x+1}<2\quad\forall x\in\mathbb{R}
Perguntas / informações importantes:
  • Queremos determinar o conjunto de valores de m que tornam essa desigualdade verdadeira para todo x\in\mathbb{R}.
  • O numerador é x^{2}+(m+1)x+1.
  • O denominador é x^{2}+x+1.
  • A desigualdade deve valer para todo x real (isto é, globalmente).

Passo 2

Verificação do denominador: antes de multiplicar ambos os lados, precisamos saber o sinal de x^{2}+x+1 para todo x.
Calcule o discriminante da quadrática x^{2}+x+1:
\Delta_D = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta_D<0 e o coeficiente de x^{2} é 1>0, concluímos que
x^{2}+x+1>0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Isso significa que podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade pela expressão x^{2}+x+1 sem mudar o sentido da desigualdade.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^{2}+x+1 (positivo sempre), obtemos uma desigualdade equivalente:
x^{2}+(m+1)x+1 < 2\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
Agora desenvolva o lado direito:
2\bigl(x^{2}+x+1\bigr)=2x^{2}+2x+2.

Passo 4

Faça a subtração para reunir tudo em um lado:
x^{2}+(m+1)x+1 - (2x^{2}+2x+2) < 0.
Simplificando termo a termo:
-x^{2} + (m-1)x -1 < 0.

Passo 5

Multiplique por -1 (isto inverte o sinal da desigualdade):
x^{2} - (m-1)x + 1 > 0 \quad\forall x\in\mathbb{R}.
Agora temos uma condição sobre a quadrática g(x)=x^{2} - (m-1)x +1: ela precisa ser estritamente positiva para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Teoria necessária (explicação didática):
  • Para uma quadrática g(x)=ax^{2}+bx+c com a>0, ela é estritamente positiva para todo x se, e somente se, o seu discriminante for negativo.
    O discriminante é \Delta = b^{2}-4ac.
  • Intuição: a>0 garante que a parábola abre para cima e \Delta<0 garante que não corta o eixo x, logo está sempre acima de zero.
  • Alternativa equivalente (útil): o valor mínimo de g ocorre em x=-\dfrac{b}{2a} e o valor mínimo é \dfrac{4ac-b^{2}}{4a}. Para ser positivo precisamos de 4ac-b^{2}>0, que é a mesma condição que \Delta<0.

Passo 7

Aplique essa condição à nossa g(x)=x^{2} - (m-1)x +1.
Aqui a=1, b=-(m-1) e c=1.
Calcule o discriminante:
\Delta_g = \bigl(-(m-1)\bigr)^{2} - 4\cdot1\cdot1 = (m-1)^{2} - 4.
Queremos \Delta_g<0, isto é
(m-1)^{2} - 4 < 0.

Passo 8

Resolva a desigualdade em m:
(m-1)^{2} < 4.
Isto é equivalente a
|m-1| < 2.
Desenvolvendo o valor absoluto:
-2 < m-1 < 2.
Somando 1 em todas as partes:
-1 < m < 3.

Passo 9

Interpretação e verificação rápida (confirmação didática):
  • A condição a=1>0 já estava satisfeita, então só precisávamos de \Delta_g<0.
  • Portanto para qualquer m com -1<m<3 a quadrática g(x) tem valor mínimo positivo e assim \dfrac{x^{2}+(m+1)x+1}{x^{2}+x+1}<2 vale para todo x.
  • Para m fora desse intervalo, a discriminante \ge 0 faria com que existisse x com g(x)\le 0, violando a desigualdade pedida.

Resposta

b) -1<m<3

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