O seguinte problema foi desenvolvido em sala de aula: Uma carga pontual positiva Q encontra-se localizada no centro de uma casca condutora esférica, de raio interno r_{i} e raio externo r_{o}. Determinar o campo elétrico \mathbf{E} e o potencial elétrico V, em função da distância radial r.
Pede-se: Traçar os gráficos de E \times r e V \times r. Considerar: Q=22 \quad \mathrm{mC}, \mathrm{r}_{\mathrm{i}}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{r}_{\mathrm{o}}=12 \mathrm{~cm}.
Obs.: Para cada tipo de curva nos gráficos apresentar pelo menos três pares de valores.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o campo elétrico \mathbf{E} e o potencial elétrico V em função da distância radial r para uma carga puntiforme positiva Q colocada no centro de uma casca condutora esférica com raio interno \,r_{i}\, e raio externo \,r_{o}\,. Também pede traçar os gráficos de E\times r e V\times r e, para cada tipo de curva, apresentar pelo menos três pares de valores (r,\;E) e (r,\;V). Dados numéricos fornecidos: \;Q=22\\ \mathrm{mC}=22\times10^{-3}\\ \mathrm{C},\; r_{i}=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m},\; r_{o}=12\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceitos e ideias físicas que usamos (explicação didática e passo a passo):
  1. Propriedade de condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Isso significa que, para qualquer ponto com r tal que r_{i}<r<r_{o} (dentro do metal), temos \mathbf{E}=\mathbf{0}. Essa é uma propriedade fundamental: cargas livres no metal se rearranjam até anular o campo no interior do metal.
  2. Lei de Gauss (forma prática para simetria esférica): para uma superfície gaussiana esférica de raio r concêntrica com a carga central, a lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície vale a carga total interna dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Com simetria esférica \mathbf{E} é radial e constante em módulo sobre a superfície, então \;E(r)\cdot 4\pi r^2 = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0\;, de onde
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{int}}}{r^2}.
  1. Situação específica aqui: a carga Q está no centro da cavidade. Para r<r_i a superfície gaussiana envolve apenas Q (logo Q_{\text{int}}=Q). Para r>r_o a gaussiana engloba o conjunto total de cargas (a carga Q mais quaisquer cargas induzidas nas superfícies do condutor). Se o condutor é inicialmente neutro, as induzidas somam zero fora e o campo externo corresponde a uma carga efetiva Q no centro; portanto para r>r_o também Q_{\text{int}}=Q. Entre r_i e r_o (no metal) E=0.
  2. Potencial elétrico e relação com campo: o potencial relativo ao infinito é dado por
V(r)-V(\infty) = -\int_{\infty}^{r}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}.
É usual escolher V(\infty)=0 como referência; assim \;V(r)=-\int_{\infty}^{r}E(s)\,ds\; (com E radial e tomada a componente radial). Usaremos isso para obter V(r) em cada região, cuidando de continuidade do potencial nas fronteiras.

Passo 3

Determinação analítica do campo \mathbf{E}(r) (passo a passo):
  • Constante útil: definimos k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (constante eletrostática). Numericamente \;k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}. Então kQ \approx 8{,}99\times10^{9}\cdot 22\times10^{-3}\\ \mathrm{N\,m^2/C}\approx 1{,}98\times10^{8}.
  • Pela discussão da Lei de Gauss:
\text{para }0<r<r_i:\quad E(r)=\frac{kQ}{r^2}\quad\text{(radial para fora).}
\text{para }r_i<r<r_o:\quad E(r)=0\quad\text{(no metal).}
\text{para }r>r_o:\quad E(r)=\frac{kQ}{r^2}\quad\text{(como carga pontual \(Q\) no centro).}
Escrevendo de forma compacta:
E(r)=\begin{cases} \dfrac{kQ}{r^2}, & 0<r<r_i,\\[6pt] 0, & r_i<r<r_o,\\[4pt] \dfrac{kQ}{r^2}, & r>r_o. \end{cases}]

Passo 4

Pares de valores para traçar E\times r (três pares em cada tipo de curva). Vou calcular usando kQ=1{,}97736\times10^{8} (valor aproximado usado nos cálculos abaixo), e mostrar os passos das contas:
  • Região interna ( 0<r<r_i) escolho r=0{,}02\\ \mathrm{m},\;0{,}05\\ \mathrm{m},\;0{,}09\\ \mathrm{m}.
    • Para r=0{,}02\\ \mathrm{m}: E=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{(0{,}02)^2}=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{4{,}0\times10^{-4}}=1{,}97736\times10^{8}\times2500\approx 4{,}94\times10^{11}\\ \mathrm{N/C}.
    • Para r=0{,}05\\ \mathrm{m}: E=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{(0{,}05)^2}=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{2{,}5\times10^{-3}}\approx 7{,}91\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}.
    • Para r=0{,}09\\ \mathrm{m}: E=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{(0{,}09)^2}=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{8{,}1\times10^{-3}}\approx 2{,}44\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}.
  • Região do condutor ( r_i<r<r_o) escolho r=0{,}10\\ \mathrm{m},\;0{,}11\\ \mathrm{m},\;0{,}115\\ \mathrm{m}:
    • Para qualquer destes E=0\\ \mathrm{N/C}.
  • Região externa ( r>r_o) escolho r=0{,}13\\ \mathrm{m},\;0{,}20\\ \mathrm{m},\;1{,}00\\ \mathrm{m}:
    • Para r=0{,}13\\ \mathrm{m}: E=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{(0{,}13)^2}=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{0{,}0169}\approx 1{,}17\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}.
    • Para r=0{,}20\\ \mathrm{m}: E=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{0{,}04}\approx 4{,}94\times10^{9}\\ \mathrm{N/C}.
    • Para r=1{,}00\\ \mathrm{m}: E=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{1{,}00}\approx 1{,}98\times10^{8}\\ \mathrm{N/C}.
Esses pares servem para desenhar o gráfico de E em função de r: curvas \propto 1/r^2 para interior e exterior, com um trecho nulo (zero) no intervalo [r_i,r_o].

Passo 5

Determinação analítica do potencial V(r) (detalhado):
  1. Escolhemos referência V(\infty)=0. Para r>r_o temos o campo de uma carga pontual Q, logo
V(r)=\frac{kQ}{r}\quad\text{para }r>r_o,
pois \;V(r)=-\int_{\infty}^{r}\dfrac{kQ}{s^2}ds=\dfrac{kQ}{r}.
2) No interior do metal ( r_i<r<r_o) o campo é zero, então o potencial é constante nesse intervalo e igual ao valor na superfície externa r=r_o:
V(r)=V(r_o)=\frac{kQ}{r_o}\quad\text{para }r_i<r<r_o.
  1. Para r<r_i (dentro da cavidade) o campo é como de uma carga Q no centro, mas há também a contribuição de cargas induzidas que apenas adicionam uma constante ao potencial. Calculamos integrando partindo do infinito até r passando pelas regiões conhecidas:
V(r)= -\int_{\infty}^{r}E(s)\,ds = -\left(\int_{\infty}^{r_o}\frac{kQ}{s^2}ds + \int_{r_o}^{r_i}0\,ds + \int_{r_i}^{r}\frac{kQ}{s^2}ds\right).
Fazendo as integrais obtemos (após simplificação)
V(r)=\frac{kQ}{r_o} + \frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{r_i} = kQ\!\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r_i}\right)\quad\text{para }0<r<r_i.
Verifique que em r=r_i isso dá V(r_i)=kQ/r_o, portanto o potencial é contínuo na fronteira, como deve ser.
Reescrevendo tudo de forma compacta:
V(r)=\begin{cases} kQ\!\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r_o}-\dfrac{1}{r_i}\right), & 0<r<r_i,\\[8pt] \dfrac{kQ}{r_o}, & r_i\le r\le r_o,\\[6pt] \dfrac{kQ}{r}, & r>r_o. \end{cases}]

Passo 6

Pares de valores para traçar V\times r (três pares em cada tipo de curva). Usamos novamente kQ\approx 1{,}97736\times10^{8}\\ \mathrm{(V\cdot m)}.
  • Região interna ( 0<r<r_i) escolho r=0{,}02,\;0{,}05,\;0{,}09\\ \mathrm{m} e uso
V(r)=kQ\!\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r_i}\right) = kQ\!\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{0{,}12}-\frac{1}{0{,}10}\right).
  • Para r=0{,}02\\ \mathrm{m}: \dfrac{1}{r}=50, \dfrac{1}{r_o}-\dfrac{1}{r_i}=8{,}3333-10=-1{,}6667. Assim V=1{,}97736\times10^{8}\times(50-1{,}6667)\approx 1{,}97736\times10^{8}\times48{,}3333\approx 9{,}56\times10^{9}\\ \mathrm{V}.
  • Para r=0{,}05\\ \mathrm{m}: \dfrac{1}{r}=20. Então V\approx 1{,}97736\times10^{8}\times(20-1{,}6667)\approx 1{,}97736\times10^{8}\times18{,}3333\approx 3{,}62\times10^{9}\\ \mathrm{V}.
  • Para r=0{,}09\\ \mathrm{m}: \dfrac{1}{r}\approx 11{,}1111. Então V\approx 1{,}97736\times10^{8}\times(11{,}1111-1{,}6667)\approx 1{,}97736\times10^{8}\times9{,}4444\approx 1{,}87\times10^{9}\\ \mathrm{V}.
  • Região do condutor ( r_i\le r\le r_o) o potencial é constante igual a kQ/r_o:
    • V(r)=\dfrac{kQ}{r_o}=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{0{,}12}\approx 1{,}65\times10^{9}\\ \mathrm{V}.
    • Três pares exemplares (qualquer r entre 0{,}10 e 0{,}12 m): (0{,}10,\;1{,}65\times10^{9}\\ \mathrm{V}),\;(0{,}11,\;1{,}65\times10^{9}\\ \mathrm{V}),\;(0{,}12,\;1{,}65\times10^{9}\\ \mathrm{V}).
  • Região externa ( r>r_o) escolho r=0{,}13,\;0{,}20,\;1{,}00\\ \mathrm{m} com V(r)=kQ/r:
    • Para r=0{,}13\\ \mathrm{m}: V=\dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{0{,}13}\approx 1{,}52\times10^{9}\\ \mathrm{V}.
    • Para r=0{,}20\\ \mathrm{m}: V\approx \dfrac{1{,}97736\times10^{8}}{0{,}20}\approx 9{,}89\times10^{8}\\ \mathrm{V}.
    • Para r=1{,}00\\ \mathrm{m}: V\approx 1{,}97736\times10^{8}\\ \mathrm{V}.

Resposta

E(r)=\begin{cases} \dfrac{kQ}{r^2}, & 0<r<r_i,\\[6pt] 0, & r_i<r<r_o,\\[4pt] \dfrac{kQ}{r^2}, & r>r_o, \end{cases} \qquad\text{com }k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}99\times10^{9}.
Pares para [E®) (usando Q=22\times10^{-3}\\ \mathrm{C}):
  • Região interna ( 0<r<r_i):
    (0{,}02\\ \mathrm{m},\;4{,}94\times10^{11}\\ \mathrm{N/C}),\quad (0{,}05\\ \mathrm{m},\;7{,}91\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}),\quad(0{,}09\\ \mathrm{m},\;2{,}44\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}).
  • Região do condutor ( r_i<r<r_o):
    (0{,}10\\ \mathrm{m},\;0\\ \mathrm{N/C}),\quad(0{,}11\\ \mathrm{m},\;0\\ \mathrm{N/C}),\quad(0{,}115\\ \mathrm{m},\;0\\ \mathrm{N/C}).
  • Região externa ( r>r_o):
    (0{,}13\\ \mathrm{m},\;1{,}17\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}),\quad(0{,}20\\ \mathrm{m},\;4{,}94\times10^{9}\\ \mathrm{N/C}),\quad(1{,}00\\ \mathrm{m},\;1{,}98\times10^{8}\\ \mathrm{N/C}).
V(r)=\begin{cases} kQ\!\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r_o}-\dfrac{1}{r_i}\right), & 0<r<r_i,\\[8pt] \dfrac{kQ}{r_o}, & r_i\le r\le r_o,\\[6pt] \dfrac{kQ}{r}, & r>r_o. \end{cases}
Pares para V(r)\] (usando \(kQ\approx 1{,}97736\times10^{8}\\ \mathrm{V\cdot m}):
  • Região interna ( 0<r<r_i):
    (0{,}02\\ \mathrm{m},\;9{,}56\times10^{9}\\ \mathrm{V}),\quad(0{,}05\\ \mathrm{m},\;3{,}62\times10^{9}\\ \mathrm{V}),\quad(0{,}09\\ \mathrm{m},\;1{,}87\times10^{9}\\ \mathrm{V}).
  • Região do condutor ( r_i\le r\le r_o) (potencial constante):
    (0{,}10\\ \mathrm{m},\;1{,}65\times10^{9}\\ \mathrm{V}),\quad(0{,}11\\ \mathrm{m},\;1{,}65\times10^{9}\\ \mathrm{V}),\quad(0{,}12\\ \mathrm{m},\;1{,}65\times10^{9}\\ \mathrm{V}).
  • Região externa ( r>r_o):
    (0{,}13\\ \mathrm{m},\;1{,}52\times10^{9}\\ \mathrm{V}),\quad(0{,}20\\ \mathrm{m},\;9{,}89\times10^{8}\\ \mathrm{V}),\quad(1{,}00\\ \mathrm{m},\;1{,}98\times10^{8}\\ \mathrm{V}).]

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