- Para o seguinte sistema linear e invariante no tempo:
a) Apresente as equações de magnitude (dB) e fase associadas ao diagrama de Bode;
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência invariante no tempo
e pede duas coisas claras:
- Apresentar a equação da magnitude em dB usada no diagrama de Bode.
- Apresentar a equação da fase usada no diagrama de Bode.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável de frequência é
(para Bode usamos ). - Numerador e denominador são polinômios em
com coeficientes dados (não há constantes ocultas).
Passo 2
Primeiro passo técnico: substituir
porque o diagrama de Bode é traçado em frequência real
. Então
Agora usar as potências de
:
Substituindo isso no denominador e simplificando o numerador obtemos as partes reais e imaginárias de numerador e denominador.
Passo 3
Calcular explicitamente as partes real e imaginária:
- Numerador:
então
- Denominador:
Agrupando termos real e imaginário:
Passo 4
Fórmula geral da magnitude complexa: para
,
Substituindo as partes que achamos:
A magnitude em dB (usada no diagrama de Bode) é
porque
.
Passo 5
Fórmula geral da fase: a fase de
é a diferença dos argumentos
Para o numerador temos uma forma simples:
Para o denominador é recomendável usar a função
(que leva em conta o quadrante):
Portanto a fase (em radianos) fica
Observação didática: usar
evita erros de quadrante; se for usar apenas
(que retorna valores em
) é preciso adicionar
ou
conforme o sinal de
e
.
Passo 6
Resumo prático para prova (como avaliar no papel):
- Para a magnitude escreva a expressão do Passo 4 e, se quiser, transforme em forma mais factorizada para cancelamentos/assíntotas.
- Para a fase use a expressão do Passo 5 e calcule com
ou fazendo a correção de quadrante manualmente. - Dica rápida: para
e pode-se aproximar os termos dominantes (isso ajuda a esboçar o Bode assintótico).