1. Para o seguinte sistema linear e invariante no tempo:
H(s)=\frac{10000 s+100000}{s^{3}+20 s^{2}+10000 s}
a) Apresente as equações de magnitude (dB) e fase associadas ao diagrama de Bode;

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência invariante no tempo
H(s)=\frac{10000 s+100000}{s^{3}+20 s^{2}+10000 s}
e pede duas coisas claras:
  • Apresentar a equação da magnitude em dB usada no diagrama de Bode.
  • Apresentar a equação da fase usada no diagrama de Bode.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável de frequência é s=j\omega (para Bode usamos \omega\ge 0).
  • Numerador e denominador são polinômios em s com coeficientes dados (não há constantes ocultas).

Passo 2

Primeiro passo técnico: substituir s=j\omega porque o diagrama de Bode é traçado em frequência real \omega. Então
H(j\omega)=\frac{10000(j\omega)+100000}{(j\omega)^3+20(j\omega)^2+10000(j\omega)}.
Agora usar as potências de j:
(j\omega)^2=-\omega^2,\qquad (j\omega)^3=-j\omega^3.
Substituindo isso no denominador e simplificando o numerador obtemos as partes reais e imaginárias de numerador e denominador.

Passo 3

Calcular explicitamente as partes real e imaginária:
  • Numerador:
10000(j\omega)+100000 = 100000 + j\,10000\omega,
então
\Re\{N\}=100000,\qquad \Im\{N\}=10000\omega.
  • Denominador:
(j\omega)^3+20(j\omega)^2+10000(j\omega) = -j\omega^3 -20\omega^2 + j\,10000\omega.
Agrupando termos real e imaginário:
\Re\{D\}=-20\omega^2,\qquad \Im\{D\}=10000\omega-\omega^3=\omega(10000-\omega^2).

Passo 4

Fórmula geral da magnitude complexa: para H(j\omega)=\dfrac{N}{D},
|H(j\omega)|=\frac{\sqrt{\Re\{N\}^2+\Im\{N\}^2}}{\sqrt{\Re\{D\}^2+\Im\{D\}^2}}.
Substituindo as partes que achamos:
|H(j\omega)|=\frac{\sqrt{100000^2+(10000\omega)^2}}{\sqrt{(-20\omega^2)^2+(10000\omega-\omega^3)^2}}.
A magnitude em dB (usada no diagrama de Bode) é
20\log_{10}|H(j\omega)| =10\log_{10}\!\left(\frac{100000^2+(10000\omega)^2}{(20\omega^2)^2+(10000\omega-\omega^3)^2}\right),
porque 20\log_{10}\sqrt{X}=10\log_{10}X.

Passo 5

Fórmula geral da fase: a fase de H(j\omega)=N/D é a diferença dos argumentos
\angle H(j\omega)=\arg(N)-\arg(D).
Para o numerador temos uma forma simples:
\arg(N)=\arctan\!\left(\frac{\Im\{N\}}{\Re\{N\}}\right) =\arctan\!\left(\frac{10000\omega}{100000}\right) =\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Para o denominador é recomendável usar a função \operatorname{atan2}(\Im,\Re) (que leva em conta o quadrante):
\arg(D)=\operatorname{atan2}\!\big(10000\omega-\omega^3,\,-20\omega^2\big) =\operatorname{atan2}\!\big(\omega(10000-\omega^2),\,-20\omega^2\big).
Portanto a fase (em radianos) fica
\angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-\operatorname{atan2}\!\big(\omega(10000-\omega^2),\,-20\omega^2\big).
Observação didática: usar \operatorname{atan2} evita erros de quadrante; se for usar apenas \arctan (que retorna valores em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})) é preciso adicionar \pi ou -\pi conforme o sinal de \Re\{D\} e \Im\{D\}.

Passo 6

Resumo prático para prova (como avaliar no papel):
  • Para a magnitude escreva a expressão do Passo 4 e, se quiser, transforme em forma mais factorizada para cancelamentos/assíntotas.
  • Para a fase use a expressão do Passo 5 e calcule com \operatorname{atan2} ou fazendo a correção de quadrante manualmente.
  • Dica rápida: para \omega\to 0 e \omega\to\infty pode-se aproximar os termos dominantes (isso ajuda a esboçar o Bode assintótico).

Resposta

20\log_{10}|H(j\omega)|=10\log_{10}\!\left(\dfrac{100000^{2}+(10000\omega)^{2}}{(20\omega^{2})^{2}+(10000\omega-\omega^{3})^{2}}\right) \
\angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right)-\operatorname{atan2}\!\big(\omega(10000-\omega^{2}),\,-20\omega^{2}\big)

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