1. Questão 1. (Peso: 60,0 pontos). Uma pequena planta industrial opera com uma carga de calefação de 50 kW e uma carga puramente indutiva de 20 kVAR devido a um banco de reatores. Os elementos de calefação são considerados puramente resistivos (\mathrm{Fp}=1). Se a tensão de alimentação é de \mathrm{V}=1000 \mathrm{~V} e a frequência \mathrm{f}=60 \mathrm{~Hz}.
b) Calcular a Capacitância em Faraday do capacitor (20 pontos);

Passo 1

Enunciado e dados que temos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Carga de calefação (resistiva): 50\\ \text{kW} (essa é potência ativa, sem reativo).
  • Carga puramente indutiva: 20\\ \text{kVAR} (potência reativa indutiva).
  • Tensão de alimentação: V=1000\\ \text{V}.
  • Frequência: f=60\\ \text{Hz}.
    O item (b) pede: calcular a capacitância em farad ( \mathrm{F}) do capacitor.
    Observação importante (assunção utilizada): como o enunciado não informa sistema trifásico nem tensão de fase, vou assumir aqui o caso mais direto e comum em exercícios básicos: circuito monofásico, ou seja, a tensão dada V=1000\\ \text{V} é a tensão aplicada ao capacitor que deve fornecer 20\\ \text{kVAR} de reativo.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas que vamos usar (aula curta e prática).
  • Potência reativa de um capacitor (módulo) em regime senoidal monofásico é dada por:
Q_{C}=\frac{V^{2}}{X_{C}},
onde:
  • Q_{C} é a potência reativa fornecida pelo capacitor (em volt-ampere reativo, \mathrm{var});
  • V é a tensão eficaz aplicada ao capacitor (em volt, \mathrm{V});
  • X_{C} é a reatância capacitiva (em ohm, \Omega).
  • A reatância capacitiva relaciona-se com a capacitância C e a pulsação \omega por:
X_{C}=\frac{1}{\omega C},
onde:
  • \omega=2\pi f é a pulsação (rad/s),
  • C é a capacitância (farad, \mathrm{F}).
  • Substituindo X_{C} em Q_C obtemos uma relação direta útil:
Q_{C}=V^{2}\omega C.
Essa fórmula é prática: ela diz que, para uma tensão e frequência dadas, a potência reativa fornecida pelo capacitor cresce proporcionalmente à capacitância.

Passo 3

Isolando C da relação \,Q_{C}=V^{2}\omega C\,:
C=\frac{Q_{C}}{V^{2}\omega}.
Aqui:
  • Q_{C} é a potência reativa que o capacitor deve fornecer. No nosso caso queremos compensar a reativa indutiva de 20\\ \text{kVAR}, então tomamos o módulo Q_{C}=20\\ \text{kVAR}=20\,000\\ \mathrm{var}.
  • V e \omega são conhecidos.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo (contas feitas de forma que dê pra repetir na prova):
  1. Calcular \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot60=120\pi\\ \text{rad/s}.
Como número aproximado,
\omega\approx120\pi\approx376{,}9911184\\ \text{rad/s}.
  1. Calcular V^{2}\omega:
V^{2}\omega=(1000)^{2}\cdot(120\pi)=1\,000\,000\cdot120\pi=120\,000\,000\pi.
Numericamente,
V^{2}\omega\approx1\,000\,000\cdot376{,}9911184\approx376\,991\,118{,}4.
  1. Agora calcular C:
C=\frac{Q_{C}}{V^{2}\omega}=\frac{20\,000}{376\,991\,118{,}4}\approx0{,}0000530516477\\ \mathrm{F}.
  1. Converter para uma unidade mais prática ( \mu\mathrm{F}):
C\approx0{,}0000530516477\\ \mathrm{F}=53{,}0516477\\ \mu\mathrm{F}\approx53{,}05\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 5

Verificação rápida de plausibilidade e dica para prova:
  • Ordem de grandeza: algumas dezenas de microfarads para 1 kV e 20 kVAR faz sentido (não é nem nanofarad nem vários milifarads).
  • Na prova, escreva claramente as unidades e mostre a passagem de X_C para \omega C; isso costuma garantir crédito mesmo se houver pequena diferença de arredondamento.
  • Se o sistema fosse trifásico, a fórmula muda (usar tensões de fase e fator 3 conforme o tipo de conexão), por isso sempre confirme se a tensão dada é fase-fase ou fase-neutro. Aqui assumimos monofásico porque o enunciado não especificou.

Resposta

C \approx 5,305\times10^{-5}\\ \mathrm{F}
C \approx 53,05\\ \mu\mathrm{F}

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