1. Questão 1. (Peso: 60,0 pontos). Uma pequena planta industrial opera com uma carga de calefação de 50 kW e uma carga puramente indutiva de 20 kVAR devido a um banco de reatores. Os elementos de calefação são considerados puramente resistivos (\mathrm{Fp}=1). Se a tensão de alimentação é de \mathrm{V}=1000 \mathrm{~V} e a frequência \mathrm{f}=60 \mathrm{~Hz}.
a) Determinar a potência reativa capacitiva em KVAR do capacitor necessária para elevar o fator de potência a 1 (20 pontos);

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
  • Potência dos elementos de calefação (resistivos): P_{\text{res}}=50\\ \mathrm{kW}. (são puramente resistivos, ou seja, fator de potência igual a 1 para essa parcela)
  • Carga puramente indutiva (banco de reatores): Q_L=20\\ \mathrm{kVAR} (reativa indutiva).
  • Tensão de alimentação: V=1000\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.
O enunciado (item a) pede:
  • Determinar a potência reativa capacitiva em kVAR do capacitor necessária para elevar o fator de potência a 1.

Passo 2

Vamos entender os conceitos básicos (aula rápida e direta).
  • Potência ativa (real) P: é a potência que realiza trabalho/gera calor; unidades em W (ou kW). Aqui P_{\text{total}}=50\\ \mathrm{kW} (porque os reatores indutivos não consomem potência ativa, só reativa).
  • Potência reativa Q: associada ao fluxo de energia alternada entre fonte e reativos (indutores/capacitores); unidades VAR (ou kVAR). Indutância contribui com Q>0 (convencionalmente “indutivo/lag”), capacitância com Q<0 (capacitivo/lead).
  • Potência aparente S: magnitude combinada, \;S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\;.
  • Fator de potência \mathrm{fp}=\cos\varphi = \dfrac{P}{S}. Para \mathrm{fp}=1 é preciso que \varphi=0 e portanto Q_{\text{net}}=0.
Portanto, para obter fator de potência igual a 1, a soma algébrica das potências reativas deve ser zero:
Q_{\text{total}}=Q_L+Q_C=0,
onde Q_C é a reativa do capacitor (valor negativo, pois é capacitivo).

Passo 3

Aplicando a condição \;Q_L+Q_C=0\; para ter \mathrm{fp}=1:
Q_C = -Q_L.
Substituindo o valor dado para Q_L:
Q_C = -\,20\\ \mathrm{kVAR}.
Isto significa que a potência reativa capacitiva necessária tem magnitude 20\\ \mathrm{kVAR} e sinal negativo (capacitiva), ou seja, deve fornecer 20\\ \mathrm{kVAR} de reatividade capacitiva para cancelar os 20\\ \mathrm{kVAR} indutivos.

Passo 4

Interpretação prática e cuidado com unidades: normalmente em engenharia reporta-se o tamanho do banco capacitivo em kVAR positivos, especificando-se que é capacitivo. Portanto a resposta normalmente é dada como “um capacitor de 20\\ \mathrm{kVAR} (capacitivo)”. O sinal negativo só indica natureza capacitiva na soma algébrica.

Passo 5

(Complemento útil para a prova: calcular o valor de capacitância necessário, caso peçam.)
Fórmula relacionando Q_C e C em tensão senoidal:
Q_C = -V^{2}\,\omega\,C,
onde \omega=2\pi f. Despejando C em módulo,
C=\frac{|Q_C|}{V^{2}\,\omega}.
Substituindo números (usar |Q_C|=20\\ \mathrm{kVAR}=20000\\ \mathrm{VAR}, V=1000\\ \mathrm{V}, \omega=2\pi\cdot60\\ \mathrm{rad/s}):
\omega=2\pi\cdot60=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx376{,}9911\\ \mathrm{rad/s},
C=\frac{20000}{(1000)^{2}\cdot 376{,}9911}\\ \mathrm{F}\approx5{,}305\times10^{-5}\\ \mathrm{F}=53{,}05\\ \mu\mathrm{F}.
Esse valor é apenas um complemento: a pergunta (a) pedia a potência reativa em kVAR, mas se precisarem projetar o banco, esse C é o que dimensiona o capacitor à tensão e frequência dadas.

Resposta

Q_C = 20\\ \mathrm{kVAR} (capacitivo)

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