Para o seguinte Sistema Linear:
\left\{\begin{array}{l} m^{2} x-y=0 \\\ x+m y=0 \end{array}\right.
determine o valor de m de modo que o Sistema:
(a) Tenha solução única.
(b) Tenha infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} m^{2}x - y = 0,\\\ x + m\,y = 0, \end{cases}
com incógnitas x,y e parâmetro m. O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares via determinante da matriz dos coeficientes (ou regra de Cramer).

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A\vec v=\vec0, onde
A = \begin{pmatrix} m^2 & -1\\\\ 1 & m \end{pmatrix}, \qquad \vec v = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) = m^2\cdot m - (-1)\cdot1 = m^3 + 1.

Passo 3

Se \det(A)\neq0, o sistema homogêneo só admite a solução trivial (x,y)=(0,0), ou seja, há solução única. Logo a condição é
m^3 + 1 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m \neq -1.

Passo 4

Se \det(A)=0\), temos \(m^3 + 1=0\), isto é \(m=-1\). Nesse caso o sistema fica \[\begin{cases} (-1)^2x - y = x - y = 0,\\\ x + (-1)y = x - y = 0, \end{cases}
que é a mesma equação repetida. Como o sistema é homogêneo e as duas equações são equivalentes, existem infinitas soluções (qualquer par ((x,x)]).

Resposta

(a) O sistema tem solução única para m \neq -1.
(b) O sistema tem infinitas soluções para m = -1.

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