Determinar o valor de a para que o Sistema
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+a z=1 \\\\ 2 x+a y+8 z=3 \\\ x=1 \end{array}\right.
tenha:
(a) Solução única.
(b) Nenhuma solução.
(c) Mais de uma solução.

Passo 1

O enunciado pede para classificar, em função do parâmetro a\), a quantidade de soluções do sistema \[\begin{cases} x+2y+a z=1,\\\\ 2x+a y+8 z=3,\\\ x=1. \end{cases}
O conteúdo é teoria de sistemas lineares com parâmetro: eliminamos variáveis, reduzimos a um sistema 2\times2\] para \(y,z e usamos o determinante para decidir existência e unicidade de solução.

Passo 2

Da terceira equação vem imediatamente
x=1.
Substituindo em x+2y+az=1 e em 2x+ay+8z=3 obtemos, respectivamente,
2y+az=1-1=0,
ay+8z=3-2=1.

Passo 3

Podemos escrever essas duas equações na forma matricial
\begin{pmatrix} 2 & a\\\ a & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y\\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\\\ 1 \end{pmatrix}.
Denote essa matriz por M. Sabemos da teoria que:
  • se \det M\neq0, há solução única para (y,z) e, portanto, solução única para todo o sistema;
  • se \det M=0, ou não há solução ou há infinitas soluções, dependendo da consistência.

Passo 4

Calculemos o determinante de M:
\det M = 2\cdot8 - a\cdot a = 16 - a^2.
Logo
\det M \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2\neq16 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq4,\\ a\neq-4.

Passo 5

Quando a^2=16, isto é, a=4 ou a=-4, o sistema reduzido tem matriz singular. Precisamos verificar consistência nesses casos:
  • Se a=4, as equações viram
    2y+4z=0, \quad 4y+8z=1.
    A segunda é o dobro da primeira no lado esquerdo, mas não no lado direito ( 0\neq1), daí inconsistente.
  • Se a=-4, as equações viram
    2y-4z=0, \quad -4y+8z=1.
    Da primeira y=2z. Substituindo na segunda: -4(2z)+8z=0\neq1, também inconsistente.
Em ambos os casos não há solução.

Passo 6

Resumindo:
  • Para a\neq\pm4, \det M\neq0 e o sistema tem solução única.
  • Para a=\pm4, o sistema fica inconsistente e não há nenhuma solução.
  • Em nenhum valor de a o sistema fica singular e consistente, logo não há caso com infinitas soluções.

Resposta

(a) Solução única se a\neq4 e a\neq-4.
(b) Nenhuma solução se a=4 ou a=-4.
(c) Não existe valor de a que produza mais de uma solução.

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