Quais dos seguintes campos vetoriais podem ser considerados de escoamento incompressível:
a)
b)
c)
Note que
uma vez que
.
a)
b)
c)
Note que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é descobrir quais desses campos vetoriais representam um escoamento incompressível. Isso quer dizer que o fluido não está sendo comprimido ou expandido nesse escoamento. Para isso, vamos usar o conceito de divergência, que basicamente mede se o campo está “saindo” ou “entrando” em cada ponto. Se a divergência for zero, o escoamento é incompressível. Vamos calcular a divergência de cada campo vetorial dado para ver quais têm essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular a divergência de um campo vetorial. Se temos um campo
, a divergência
é dada por:
Esse cálculo nos dirá se o escoamento está incompressível (divergência igual a zero) ou não.
Passo 3
Vamos começar com a opção a):
Aqui,
,
e
.
Calculando a divergência:
Então, a divergência é zero, o que significa que o escoamento é incompressível.
Passo 4
Agora, vamos para a opção b):
Aqui,
,
e
.
Calculando a divergência:
A divergência é 3, que não é zero. Então, esse escoamento não é incompressível.
Passo 5
Por fim, vamos analisar a opção c):
Aqui, o campo está em coordenadas polares. A divergência em coordenadas polares para um campo
é dada por:
No nosso caso,
e
, então:
Como
não depende de
, a derivada é zero, e a divergência também é zero. Portanto, esse escoamento é incompressível.
Resposta
Os campos vetoriais a) e c) são de escoamento incompressível.