Encontre a derivada de
nos seguintes casos:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = e{x{3} \sin x} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções exponenciais compostas, então vamos precisar usar a regra da cadeia. A ideia é entender como derivar uma função dentro de outra função, passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a função externa e a função interna na nossa composição:
- Função externa: $ e^{u} $, onde $ u = x^{3} \sin x $
- Função interna: $ u = x^{3} \sin x $
Para derivar $ f(x) = e^{u} $, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia:
Agora, precisamos encontrar $ \frac{du}{dx} $, onde $ u = x^{3} \sin x $.
Passo 4
Para derivar $ u = x^{3} \sin x $, usamos a regra do produto, pois $ u $ é o produto de duas funções: $ x^{3} $ e $ \sin x $.
A regra do produto diz:
Onde $ v = x^{3} $ e $ w = \sin x $.
Passo 5
Calculando as derivadas individuais:
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Voltando à derivada da função original:
Resposta
A derivada de $ f(x) = e{x{3} \sin x} $ é: