As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\ x & 2\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}5 & 3\\\ x & 2\end{pmatrix}
e pede o(s) valor(es) de x para que o sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b} tenha sempre solução única para qualquer \mathbf{b}=(b_1,b_2). Isso equivale a exigir que A seja invertível, ou seja, que seu determinante seja diferente de zero.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A:
\det(A) = 5 \cdot 2 \;-\; 3 \cdot x = 10 - 3x.
Para que haja solução única para todo \mathbf{b}, precisamos de
\det(A) \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 10 - 3x \neq 0.

Resposta

x \neq \tfrac{10}{3}.

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