As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & x\\\\ 3 & 1\\\\ 1 & y \end{pmatrix}
e pede que o sistema A\,(u,v)^T=b tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo de b.
Para isso precisamos que \rank(A)< número de incógnitas (que é 2). Logo queremos \rank(A)=1. Nesse caso, quando b estiver no espaço coluna de A haverá infinitas soluções; se b não estiver, não haverá solução.

Passo 2

Ter \rank(A)=1 significa que as duas colunas de A são linearmente dependentes. Denotando
C_1=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}, \quad C_2=\begin{pmatrix}x\\\ 1\y\end{pmatrix},
exige-se
C_2=\lambda\,C_1
para algum escalar \lambda.

Passo 3

Da igualdade de vetores \begin{pmatrix}x\\\ 1\y\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}\) vem, coordenada a coordenada, \[\begin{cases} x=2\lambda,\\\\ 1=3\lambda,\\\ y=1\cdot\lambda. \end{cases}
Da segunda equação (\lambda=\tfrac13]. Logo
x=2\cdot\tfrac13=\tfrac23, \quad y=\tfrac13.

Resposta

Para que o sistema tenha zero ou infinitas soluções conforme b, deve ser
x=\tfrac23 \quad\text{e}\quad y=\tfrac13.

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