As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & x\\\\ 3 & y & 2 \end{pmatrix}
e pede para encontrar os valores de x e y tais que o sistema A\,\mathbf{z} = \mathbf{b} tenha infinitas soluções para qualquer \mathbf{b}=(b_1,b_2).
O conteúdo é a teoria de sistemas lineares: consistência para todo \mathbf{b} e infinitas soluções ocorrem se e somente se \rank(A)=2 (posto máximo de linhas) e 2<3 (número de incógnitas), pois assim há sempre graus de liberdade.

Passo 2

Para que o sistema seja consistente para todo \mathbf{b}, precisamos de \rank(A)=2, isto é, as duas linhas de A devem ser linearmente independentes.
Como existem 3 incógnitas e \rank(A)=2, haverá sempre um parâmetro livre, garantindo infinitas soluções.

Passo 3

As linhas são
r_1 = (4,\;2,\;x), \qquad r_2 = (3,\;y,\;2).
Elas seriam dependentes se existir \lambda tal que
(3,y,2) = \lambda\,(4,2,x).
Dessa igualdade de vetores segue
\lambda = \frac{3}{4}, \quad y = \lambda\cdot 2 = \frac{3}{4}\cdot2 = \frac{3}{2}, \quad 2 = \lambda\cdot x = \frac{3}{4}\,x \;\Longrightarrow\; x = \frac{8}{3}.

Passo 4

Portanto as linhas são dependentes somente se
y = \tfrac{3}{2} \quad\text{e}\quad x = \tfrac{8}{3}.
Em qualquer outro caso, r_1 e r_2 são independentes, logo \rank(A)=2 e o sistema terá infinitas soluções para qualquer \mathbf{b}.

Resposta

Todos os pares (x,y) tais que \displaystyle (x,y)\neq \bigl(\tfrac{8}{3},\tfrac{3}{2}\bigr).

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