As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} x & 6 & 2\\\\ 3 & 4 & y \end{pmatrix}
de um sistema com 2 equações e 3 incógnitas e pede os valores de x e y tais que o sistema tenha ora zero soluções, ora infinitas soluções, dependendo de \boldsymbol b.
Conteúdo: vamos usar o conceito de posto (rank) da matriz. Para que o sistema seja, conforme \boldsymbol b, inconsistento (posto aumentado maior) ou indeterminado (posto igual e menor que número de variáveis), precisamos ter \mathrm{rank}(A)=1.
Passo 2
Para \mathrm{rank}(A)=1, todos os menores principais de ordem 2 devem ser zero. Primeiro menor (colunas 1 e 2):
Com x=\tfrac{9}{2} e y=\tfrac{4}{3}, tem-se \mathrm{rank}(A)=1.
Se \boldsymbol b estiver no mesmo subespaço gerado por uma das linhas de A, então \mathrm{rank}(A|b)=1 e o sistema é indeterminado (infinitas soluções).
Se \boldsymbol b não obedecer a essa condição, \mathrm{rank}(A|b)=2 e o sistema fica inconsistente (zero soluções).