As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} x & 6 & 2\\\\ 3 & 4 & y \end{pmatrix}
de um sistema com 2 equações e 3 incógnitas e pede os valores de x e y tais que o sistema tenha ora zero soluções, ora infinitas soluções, dependendo de \boldsymbol b.
Conteúdo: vamos usar o conceito de posto (rank) da matriz. Para que o sistema seja, conforme \boldsymbol b, inconsistento (posto aumentado maior) ou indeterminado (posto igual e menor que número de variáveis), precisamos ter \mathrm{rank}(A)=1.

Passo 2

Para \mathrm{rank}(A)=1, todos os menores principais de ordem 2 devem ser zero. Primeiro menor (colunas 1 e 2):
\det\begin{pmatrix}x & 6\\\ 3 & 4\end{pmatrix} = x\cdot4 - 6\cdot3 =4x - 18 \stackrel!=0 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{18}{4} = \tfrac{9}{2}.

Passo 3

Segundo menor (colunas 2 e 3):
\det\begin{pmatrix}6 & 2\\\ 4 & y\end{pmatrix} =6y - 2\cdot4 =6y - 8 \stackrel!=0 \;\Longrightarrow\; y = \tfrac{8}{6} = \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Terceiro menor (colunas 1 e 3) serve só para checar consistência:
\det\begin{pmatrix}x & 2\\\ 3 & y\end{pmatrix} = x\,y - 3\cdot2 = \tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{4}{3} - 6 =6 - 6 =0,
logo é compatível com \mathrm{rank}(A)=1.

Passo 5

Com x=\tfrac{9}{2} e y=\tfrac{4}{3}, tem-se \mathrm{rank}(A)=1.
  • Se \boldsymbol b estiver no mesmo subespaço gerado por uma das linhas de A, então \mathrm{rank}(A|b)=1 e o sistema é indeterminado (infinitas soluções).
  • Se \boldsymbol b não obedecer a essa condição, \mathrm{rank}(A|b)=2 e o sistema fica inconsistente (zero soluções).

Resposta

x=\dfrac{9}{2}, y=\dfrac{4}{3}.

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