As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 0 & x & 4\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}
de um sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b}. Queremos que o sistema seja singular (ou seja, tenha determinante zero) de modo que, conforme \mathbf{b}, ele ou não tenha solução ou tenha infinitas soluções. Para isso, vamos calcular \det(A) e achar o valor de x que anula esse determinante.

Passo 2

Calculamos o determinante de A pela regra de Sarrus ou cofactores. Usando cofactores na primeira linha:
\det(A) =0\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 4&3\end{pmatrix} - x\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&3\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&4\end{pmatrix}.
Agora avaliamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 4&3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot4=6-4=2, \quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot0=3, \quad \det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&4\end{pmatrix}=1\cdot4-2\cdot0=4.
Logo,
\det(A)=0\cdot2 - x\cdot3 +4\cdot4 = -3x +16.

Passo 3

Para que o sistema seja singular, precisamos de
\det(A)=0 \quad\Longrightarrow\quad -3x+16=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{16}{3}.

Passo 4

Com x=\tfrac{16}{3}, o determinante se anula e \rank(A)<3. Verificando rapidamente dois vetores linha em A nessa escolha:
\text{linha}_1=(0,\tfrac{16}{3},4),\quad \text{linha}_3=(0,4,3),
vemos que \text{linha}_1=\tfrac{4}{3}\,\text{linha}_3, enquanto a linha 2 é independente. Portanto \rank(A)=2. Assim o sistema tem:
  • infinitas soluções se \mathbf{b} estiver no espaço-coluna de A (sistema consistente),
  • nenhuma solução se \mathbf{b} não pertencer a esse espaço (sistema inconsistente).

Resposta

\displaystyle x=\tfrac{16}{3}.

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