Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo são bases para \mathbb{R}^{3} ?
Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo são bases para \mathbb{R}^{2} ?
a) \{(1,3),(1,-1)\}
b) \{(0,0),(1,2),(2,4)\}
c) \{(1,2),(2,-3),(3,2)\}
d) \{ (1,3),(-2,6) \}

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos dados são bases de \mathbb{R}^3 e quais são bases de \mathbb{R}^2.
Para ser base de \mathbb{R}^n um conjunto deve ter exatamente n vetores em \mathbb{R}^n, ser linearmente independente (LI) e gerar todo o espaço.

Passo 2

Verificamos primeiro candidatos a base de \mathbb{R}^3.
Todos os vetores fornecidos são pares (x,y), isto é, vivem em \mathbb{R}^2. Logo não há como gerar nem ser LI em \mathbb{R}^3. Portanto nenhum dos conjuntos é base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Agora analisamos candidatos a base de \mathbb{R}^2. Uma base de \mathbb{R}^2 deve ter exatamente 2 vetores em \mathbb{R}^2 que sejam LI (e então geram o plano).

Passo 4

Conjunto (a) \{(1,3),(1,-1)\}.
Montamos a matriz \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} e calculamos o determinante:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-1\cdot3=-1-3=-4\neq0.
Determinante não nulo ⇒ vetores são LI ⇒ é base de \mathbb{R}^2.

Passo 5

Conjunto (b) \{(0,0),(1,2),(2,4)\}.
Aqui há o vetor nulo (0,0), que anula qualquer independência linear. Além disso, mesmo sem ele, (1,2) e (2,4) são colineares. Logo não é base de \mathbb{R}^2.

Passo 6

Conjunto (c) \{(1,2),(2,-3),(3,2)\}.
Temos 3 vetores em \mathbb{R}^2. Mas em \mathbb{R}^2 não existe conjunto LI com mais de 2 vetores. Logo não é base (não satisfaz a cardinalidade correta nem a independência).

Passo 7

Conjunto (d) \{(1,3),(-2,6)\}.
Montamos a matriz \begin{pmatrix}1 & -2\\\ 3 & 6\end{pmatrix} e calculamos o determinante:
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 3 & 6\end{pmatrix} =1\cdot6-(-2)\cdot3=6+6=12\neq0.
Determinante não nulo ⇒ vetores são LI ⇒ é base de \mathbb{R}^2.

Resposta

Nenhum dos conjuntos é base de \mathbb{R}^3.
Os conjuntos que são bases de \mathbb{R}^2 são (a) e (d).

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