Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo são bases para
?
Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo são bases para
?
a)
b)
c)
d)
Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo são bases para
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos dados são bases de
e quais são bases de
.
Para ser base de um conjunto deve ter exatamente
vetores em
, ser linearmente independente (LI) e gerar todo o espaço.
Para ser base de
Passo 2
Verificamos primeiro candidatos a base de
.
Todos os vetores fornecidos são pares , isto é, vivem em
. Logo não há como gerar nem ser LI em
. Portanto nenhum dos conjuntos é base de
.
Todos os vetores fornecidos são pares
Passo 3
Agora analisamos candidatos a base de
. Uma base de
deve ter exatamente 2 vetores em
que sejam LI (e então geram o plano).
Passo 4
Conjunto (a)
.
Montamos a matriz e calculamos o determinante:
Montamos a matriz
Determinante não nulo ⇒ vetores são LI ⇒ é base de
.
Passo 5
Conjunto (b)
.
Aqui há o vetor nulo , que anula qualquer independência linear. Além disso, mesmo sem ele,
e
são colineares. Logo não é base de
.
Aqui há o vetor nulo
Passo 6
Conjunto (c)
.
Temos 3 vetores em . Mas em
não existe conjunto LI com mais de 2 vetores. Logo não é base (não satisfaz a cardinalidade correta nem a independência).
Temos 3 vetores em
Passo 7
Conjunto (d)
.
Montamos a matriz e calculamos o determinante:
Montamos a matriz
Determinante não nulo ⇒ vetores são LI ⇒ é base de
.
Resposta
Nenhum dos conjuntos é base de
.
Os conjuntos que são bases de são (a) e (d).
Os conjuntos que são bases de