Os seguintes dados resultaram da fluidização com ar de dolomita em tubos com 10 cm de diâmetro.
\mathrm{Q}_{\text {ar }}(\mathrm{L} / \mathrm{min}) \Delta \mathrm{P}\left(\mathrm{cm} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right) L
21,3 74,4 57,3
17,2 73,0 55,3
14,3 71,7 54,3
11,4 69,3 51,2
9,54 67,6 50,2
7,20 51,0 50,2
5,30 37,6 50,1
3,2 22,7 50,0
a) Determinar através dos dados experimentais a porosidade e a velocidade na mínima fluidização;
b) Verificar o resultado clássico da fluidização \Delta \mathrm{P}=\mathrm{w} / \mathrm{A} onde \mathrm{w}=\mathrm{m}_{\mathrm{s}} . \mathrm{g}
c) Estimar o valor da velocidade de fluidização mínima a partir da equação válida para o escoamento darcyano de fluido.
Dados: Ar à 20^{\circ} \mathrm{C}
\rho=1,1 \times 10^{-3} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}
\mu=1,9 \times 10^{-4} poise
\rho_{\mathrm{s}}=2,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
diâmetro médio da peneira =0,18 \mathrm{~mm}
\Phi=0,6
Massa das partículas sólidas =5380 \mathrm{~g}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Determinar experimentalmente a porosidade do leito e a velocidade superficial na mínima fluidização a partir dos dados fornecidos.
  • (b) Verificar a relação clássica da fluidização \Delta P = w / A, com w=m_s g.
  • (c) Estimar a velocidade de mínima fluidização usando a equação do escoamento darcyano (regime laminar no leito empacotado).
Dados relevantes (retirei diretamente da tabela e do enunciado):
  • Diâmetro do tubo: D = 10\\ \mathrm{cm}.
  • Valores de Q_{\text{ar}} (litros por minuto) e alturas L (cm) e \Delta P (cm H2O) estão na tabela. Observação experimental: para Q=9,54\\ \mathrm{L/min} e acima \Delta P praticamente se estabiliza (platô), sugerindo que Q\approx9,54\\ \mathrm{L/min} é o ponto de mínima fluidização.
  • Massa de sólidos: m_s = 5380\\ \mathrm{g}.
  • Densidade do sólido: \rho_s = 2,6\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Propriedades do ar a 20^\circ\mathrm{C}: \rho = 1,1\times10^{-3}\\ \mathrm{g/cm^3} (não será muito usada aqui), viscosidade \mu = 1,9\times10^{-4}\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
  • Diâmetro médio das partículas: d_p = 0,18\\ \mathrm{mm} = 0,018\\ \mathrm{cm}.
  • Esfericidade (sphericity): \Phi = 0,6.
  • Para calcular porosidade experimental usarei a altura do leito no estado empacotado (baixa vazão). No dado de menor vazão Q=3,2\\ \mathrm{L/min} foi registrada L=50,0\\ \mathrm{cm} — isso indica a altura empacotada que usarei para \varepsilon.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal do tubo e o volume do leito empacotado (explicando as fórmulas).
  • Área do tubo:
    A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
    Aqui D é o diâmetro do tubo em centímetros. Substituindo:
    A = \frac{\pi (10\\ \mathrm{cm})^{2}}{4} = 25\pi\\ \mathrm{cm^{2}} \approx 78,5398\\ \mathrm{cm^{2}}.
    Observação rápida: essa é a área por onde passa o ar. Vou usar essa área para converter vazões em velocidades superficiais.
  • Volume do leito empacotado V_{\text{bed}}:
    V_{\text{bed}} = A \, L_{\text{empacotado}}.
    Vou adotar L_{\text{empacotado}} = 50,0\\ \mathrm{cm} (valor da tabela em baixa vazão). Então
    V_{\text{bed}} = 78,5398\\ \mathrm{cm^{2}}\times 50,0\\ \mathrm{cm} \approx 3926,99\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 3

Calcular a porosidade experimental do leito e explicar o conceito.
  • Definição: porosidade \varepsilon é a fração do volume do leito ocupada pelo fluido (espaço vazio). Fórmula:
    \varepsilon = 1 - \frac{V_s}{V_{\text{bed}}},
    onde V_s é o volume total de sólidos no leito.
  • Calcular V_s a partir da massa e da densidade do sólido:
    V_s = \frac{m_s}{\rho_s} = \frac{5380\\ \mathrm{g}}{2,6\\ \mathrm{g/cm^{3}}} \approx 2069,2308\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Logo,
    \varepsilon = 1 - \frac{2069,2308}{3926,9908} \approx 0,4729\approx 0,473.
Explicação didática curta: interprete isso como “dos \,3927\\ \mathrm{cm^3} do leito empacotado, cerca de 2069\\ \mathrm{cm^3} são sólidos e o restante é espaço vazio (ar).”

Passo 4

Determinar experimentalmente a velocidade superficial na mínima fluidização ( U_{mf}) a partir dos dados (explicando como identificar).
  • Como identificar U_{mf} na prática: ao aumentar Q, a queda de pressão \Delta P cresce até que, no ponto de incipiente fluidização, ela praticamente se estabiliza (formação de um platô). Na tabela os valores de \Delta P se estabilizam a partir de Q=9,54\\ \mathrm{L/min} com \Delta P próximo de 67,6\\ \mathrm{cmH_2O} e valores subsequentes variando pouco. Portanto tomo Q_{mf}=9,54\\ \mathrm{L/min} como vazão na incipiente fluidização (primeiro ponto do platô).
  • Converter Q_{mf} para unidades consistentes e calcular a velocidade superficial:
    Q_{mf} = 9,54\\ \mathrm{L/min} = 9,54\cdot\frac{1000\\ \mathrm{cm^{3}}}{60\\ \mathrm{s}} = 159,0\\ \mathrm{cm^{3}/s}.
    Velocidade superficial:
    U_{mf} = \frac{Q_{mf}}{A} = \frac{159,0\\ \mathrm{cm^{3}/s}}{78,5398\\ \mathrm{cm^{2}}} \approx 2,0244\\ \mathrm{cm/s}.
    Em unidades mais usuais:
    U_{mf} \approx 2,02\\ \mathrm{cm/s} = 0,0202\\ \mathrm{m/s}.
Comentário motivador: portanto experimentalmente a velocidade superficial mínima é cerca de 2{,}0\\ \mathrm{cm/s}. Isso é algo que dá para estimar rapidamente na prova: identificar o platô de \Delta P, pegar a vazão correspondente e dividir por A.

Passo 5

Verificar a relação clássica \Delta P = w/A (explicando a ideia e calculando numericamente).
  • Conceito: No ponto de mínima fluidização o fluido sustenta todo o peso dos sólidos; portanto a força por área (pressão) exercida pelo fluido sobre o leito deve ser igual ao peso por área dos sólidos:
    \Delta P = \frac{w}{A},\quad\text{com } w = m_s g.
    Para expressar \Delta P em centímetros de coluna d’água ( \mathrm{cmH_2O}) basta dividir a pressão (força/área) pela unidade \rho_{\text{água}} gá. Como \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g/cm^3}á em cgs, simplifica-se a expressão e obtemos uma forma prática:
    \Delta P\\ (\mathrm{cmH_2O}) = \frac{m_s}{A}.
    (Explicação curta: porque P=\rho_{w} g h e isolando h h=P/(\rho_w g)=(m_s g/A)/(\rho_w g)=m_s/(A\rho_w) e \rho_w=1.)
  • Calcular numericamente:
    \Delta P_{\text{calc}} = \frac{5380\\ \mathrm{g}}{78,5398\\ \mathrm{cm^{2}}} \approx 68,49\\ \mathrm{cmH_2O}.
  • Comparação com o valor experimental no platô: média dos \Delta P para Q\ge 9{,}54\\ \mathrm{L/min} é aproximadamente
    \Delta P_{\text{exp,platô}} \approx \frac{67{,}6+69{,}3+71{,}7+73{,}0+74{,}4}{5}=71{,}2\\ \mathrm{cmH_2O}.ô
    Diferença absoluta: 71{,}2-68{,}49 = 2{,}71\\ \mathrm{cmH_2O}, erro relativo ≈ 3{,}8\%.
Conclusão: a relação clássica \Delta P = w/A é verificada razoavelmente bem (diferença pequena, dentro de incertezas experimentais).

Passo 6

Estimar U_{mf} usando a equação darcyana (introduzindo e explicando as fórmulas, e usando Kozeny–Carman para a permeabilidade).
  • Equação de Darcy para escoamento pelo leito empacotado (regime laminar, velocidade superficial U):
    \frac{\Delta P}{L} = \frac{\mu}{K}\, U,
    onde:
    • \Delta P/L é o gradiente de pressão através do leito empacotado (força/volume),
    • \mu é a viscosidade do fluido,
    • K é a permeabilidade do leito,
    • U é a velocidade superficial desejada.
    Resolvendo para U:
    U = \frac{K}{\mu}\cdot\frac{\Delta P}{L}.
    No ponto de incipiente fluidização usamos \Delta P = m_s g / A e L igual à altura do leito empacotado (a mesma que usamos para porosidade), aqui L=50{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Estimar a permeabilidade K com a forma de Kozeny–Carman adaptada para esfericidade \Phi:
    K = \frac{\varepsilon^{3}\, d_p^{2}\, \Phi^{2}}{180\,(1-\varepsilon)^{2}}.
    Onde:
    • \varepsilon é a porosidade (calculada no Passo 3),
    • d_p é o diâmetro médio das partículas,
    • \Phi é a esfericidade (valor entre 0 e 1; \Phi=1 para esferas perfeitas).
  • Calcular K numericamente:
    • \varepsilon = 0{,}4729.
    • d_p = 0{,}018\\ \mathrm{cm}, então d_p^{2}=0{,}000324\\ \mathrm{cm^2}.
    • \Phi^{2} = 0{,}36.
    • \varepsilon^{3}\approx 0{,}1057.
    • (1-\varepsilon)^{2}\approx 0{,}2778.
    Assim
    K \approx \frac{0{,}1057\times0{,}000324\times0{,}36}{180\times0{,}2778}\approx 2{,}46\times10^{-7}\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Agora usar Darcy:
    • Primeiro o gradiente \Delta P/L em unidades cgs: \Delta P em força por área (din/cm^2) é 981\\ \mathrm{cm/s^2} vezes a coluna de água em cm. Como já vimos \Delta P em \mathrm{cmH_2O} = m_s/A, então: \frac{\Delta P}{L} = \frac{\rho_{\text{água}} g \, \Delta P\\ (\mathrm{cmH_2O})}{L} = \frac{981\\ \mathrm{cm/s^2}\times (m_s/A)}{L}.á
    • Numericamente: \frac{\Delta P}{L} = \frac{981\times(5380/78{,}5398)}{50{,}0}\approx 1344{,}4\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^{2}\cdot s^{2}\cdot cm}}.
    • Finalmente, U_{mf,\text{Darcy}} = \frac{K}{\mu}\cdot\frac{\Delta P}{L} \approx \frac{2{,}46\times10^{-7}}{1{,}9\times10^{-4}}\times 1344{,}4 \approx 1{,}74\\ \mathrm{cm/s}.
Interpretação: a estimativa darcyana dá U_{mf}\approx 1{,}74\\ \mathrm{cm/s}, um pouco menor que o valor experimental 2{,}02\\ \mathrm{cm/s}. Discrepâncias razoáveis são esperadas (simplicidade do modelo, heterogeneidades das partículas, incertezas de \Phi, etc.).

Resposta

(a) Porosidade experimental \varepsilon \approx 0,473; velocidade superficial na mínima fluidização experimental U_{mf}\approx 2{,}02\\ \mathrm{cm/s} (0{,}0202\\ \mathrm{m/s}).
(b) Cálculo clássico: \Delta P = m_s/A \approx 68{,}49\\ \mathrm{cmH_2O}; valor experimental no platô \approx 71{,}2\\ \mathrm{cmH_2O} (diferença ≈ 3{,}8\%).
(c) Estimativa darcyana usando Kozeny–Carman: U_{mf,\text{Darcy}}\approx 1{,}74\\ \mathrm{cm/s} (0{,}0174\\ \mathrm{m/s}).

Exercícios relacionados