Os seguintes dados resultaram da fluidização com ar de dolomita em tubos com 10 cm de diâmetro.
L
21,3
74,4
57,3
17,2
73,0
55,3
14,3
71,7
54,3
11,4
69,3
51,2
9,54
67,6
50,2
7,20
51,0
50,2
5,30
37,6
50,1
3,2
22,7
50,0
a) Determinar através dos dados experimentais a porosidade e a velocidade na mínima fluidização;
b) Verificar o resultado clássico da fluidização
onde
c) Estimar o valor da velocidade de fluidização mínima a partir da equação válida para o escoamento darcyano de fluido.
Dados: Ar à
poise
diâmetro médio da peneira
Massa das partículas sólidas
.
|
|
|
L |
| 21,3 | 74,4 | 57,3 |
| 17,2 | 73,0 | 55,3 |
| 14,3 | 71,7 | 54,3 |
| 11,4 | 69,3 | 51,2 |
| 9,54 | 67,6 | 50,2 |
| 7,20 | 51,0 | 50,2 |
| 5,30 | 37,6 | 50,1 |
| 3,2 | 22,7 | 50,0 |
b) Verificar o resultado clássico da fluidização
c) Estimar o valor da velocidade de fluidização mínima a partir da equação válida para o escoamento darcyano de fluido.
diâmetro médio da peneira
Massa das partículas sólidas
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar experimentalmente a porosidade do leito e a velocidade superficial na mínima fluidização a partir dos dados fornecidos.
- (b) Verificar a relação clássica da fluidização
, com . - (c) Estimar a velocidade de mínima fluidização usando a equação do escoamento darcyano (regime laminar no leito empacotado).
Dados relevantes (retirei diretamente da tabela e do enunciado):
- Diâmetro do tubo:
. - Valores de
(litros por minuto) e alturas (cm) e (cm H2O) estão na tabela. Observação experimental: para e acima praticamente se estabiliza (platô), sugerindo que é o ponto de mínima fluidização. - Massa de sólidos:
. - Densidade do sólido:
. - Propriedades do ar a
: (não será muito usada aqui), viscosidade . - Diâmetro médio das partículas:
. - Esfericidade (sphericity):
. - Para calcular porosidade experimental usarei a altura do leito no estado empacotado (baixa vazão). No dado de menor vazão
foi registrada — isso indica a altura empacotada que usarei para .
Passo 2
Calcular a área da seção transversal do tubo e o volume do leito empacotado (explicando as fórmulas).
-
Área do tubo:Aqui
é o diâmetro do tubo em centímetros. Substituindo: Observação rápida: essa é a área por onde passa o ar. Vou usar essa área para converter vazões em velocidades superficiais. -
Volume do leito empacotado
: Vou adotar(valor da tabela em baixa vazão). Então
Passo 3
Calcular a porosidade experimental do leito e explicar o conceito.
-
Definição: porosidade
é a fração do volume do leito ocupada pelo fluido (espaço vazio). Fórmula: ondeé o volume total de sólidos no leito. -
Calcular
a partir da massa e da densidade do sólido: -
Logo,
Explicação didática curta: interprete isso como “dos
do leito empacotado, cerca de
são sólidos e o restante é espaço vazio (ar).”
Passo 4
Determinar experimentalmente a velocidade superficial na mínima fluidização (
) a partir dos dados (explicando como identificar).
-
Como identificar
na prática: ao aumentar , a queda de pressão cresce até que, no ponto de incipiente fluidização, ela praticamente se estabiliza (formação de um platô). Na tabela os valores de se estabilizam a partir de com próximo de e valores subsequentes variando pouco. Portanto tomo como vazão na incipiente fluidização (primeiro ponto do platô). -
Converter
para unidades consistentes e calcular a velocidade superficial: Velocidade superficial:Em unidades mais usuais:
Comentário motivador: portanto experimentalmente a velocidade superficial mínima é cerca de
. Isso é algo que dá para estimar rapidamente na prova: identificar o platô de
, pegar a vazão correspondente e dividir por
.
Passo 5
Verificar a relação clássica
(explicando a ideia e calculando numericamente).
-
Conceito: No ponto de mínima fluidização o fluido sustenta todo o peso dos sólidos; portanto a força por área (pressão) exercida pelo fluido sobre o leito deve ser igual ao peso por área dos sólidos:Para expressar
em centímetros de coluna d’água ( ) basta dividir a pressão (força/área) pela unidade . Como em cgs, simplifica-se a expressão e obtemos uma forma prática: (Explicação curta: porquee isolando dá e .) -
Calcular numericamente:
-
Comparação com o valor experimental no platô: média dos
para é aproximadamente Diferença absoluta:, erro relativo ≈ .
Conclusão: a relação clássica
é verificada razoavelmente bem (diferença pequena, dentro de incertezas experimentais).
Passo 6
Estimar
usando a equação darcyana (introduzindo e explicando as fórmulas, e usando Kozeny–Carman para a permeabilidade).
-
Equação de Darcy para escoamento pelo leito empacotado (regime laminar, velocidade superficial
): onde:-
é o gradiente de pressão através do leito empacotado (força/volume), -
é a viscosidade do fluido, -
é a permeabilidade do leito, -
é a velocidade superficial desejada.
Resolvendo para: No ponto de incipiente fluidização usamose igual à altura do leito empacotado (a mesma que usamos para porosidade), aqui . -
-
Estimar a permeabilidade
com a forma de Kozeny–Carman adaptada para esfericidade : Onde:-
é a porosidade (calculada no Passo 3), -
é o diâmetro médio das partículas, -
é a esfericidade (valor entre 0 e 1; para esferas perfeitas).
-
-
Calcular
numericamente: -
. -
, então . -
. -
. -
.
Assim -
-
Agora usar Darcy:
- Primeiro o gradiente
em unidades cgs: em força por área (din/cm^2) é vezes a coluna de água em cm. Como já vimos em = , então: - Numericamente:
- Finalmente,
- Primeiro o gradiente
Interpretação: a estimativa darcyana dá
, um pouco menor que o valor experimental
. Discrepâncias razoáveis são esperadas (simplicidade do modelo, heterogeneidades das partículas, incertezas de
, etc.).
Resposta
(a) Porosidade experimental
; velocidade superficial na mínima fluidização experimental
.
(b) Cálculo clássico: ; valor experimental no platô
(diferença ≈
).
(c) Estimativa darcyana usando Kozeny–Carman:
.
(b) Cálculo clássico:
(c) Estimativa darcyana usando Kozeny–Carman: