Selecionar um filtro prensa SHRIVER DE METAL capaz de produzir 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de filtrado, a partir de uma suspensão aquosa de \mathrm{CaCO}_{3}\left(\rho s=2,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right) com concentração igual a 0,15 \mathrm{~g} \mathrm{CaCO}_{3} / \mathrm{g} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}. Um teste em filtro prensa piloto SHRIVER com um único quadro de metal de 12^{\prime} " \times 12^{\prime} " \times 1 " produziu o seguinte resultado.
\mathrm{T}_{(\mathrm{s})} 15 27 44 63 86 112 141 176 220 284
\mathrm{V}_{(\mathrm{L})} 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Dados:
  • Condições de operação do filtro industrial serão idênticos a do fluido piloto;
  • A relação entre a massa de torta molhada e a massa de torta seca é igual a 1,5 ;
  • Deseja-se que o tempo de filtração no filtro industrial seja próximo de 20 minutos; e
  • O tempo de desmonte, limpeza e montagem do filtro industrial é de 20 minutos,
  • A torta não requer lavagem.
OBS: neste exercício deseja-se saber : Tamanho do quadro (área da escala industrial), espessura (escala industrial) e número de quadros.

Passo 1

O enunciado pede que eu selecione um filtro prensa metálico SHRIVER capaz de produzir \,6\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}\, de filtrado, a partir de uma suspensão aquosa de \mathrm{CaCO}_3 com densidade de partículas \rho_s=2{,}5\\ \mathrm{g/cm}^3 e concentração dada como 0{,}15\\ \mathrm{g\\ CaCO_3}/\mathrm{g\\ H_2O}. Foi feito um ensaio piloto com um único quadro metálico de 12''\times12''\times1'' que forneceu os pares tempo–volume abaixo (tempo em segundos e volume em litros):
\begin{array}{c|cccccccccc} T\\ (\mathrm{s}) & 15 & 27 & 44 & 63 & 86 & 112 & 141 & 176 & 220 & 284\\hline V\\ (\mathrm{L}) & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22 \end{array}
Outros dados importantes (condições idênticas no industrial; relação massa torta molhada / massa torta seca =1{,}5; tempo de filtração desejado =20 minutos; tempo de desmontagem/limpeza/montagem =20 minutos; sem lavagem da torta).
O que preciso entregar: área do quadro (escala industrial), espessura da torta (escala industrial) e número de quadros.
Vou usar os dados do ensaio piloto para extrair os parâmetros de filtração e, em seguida, dimensionar a(s) placa(s) industrial(is) de modo que, num ciclo com 20 min de filtração e 20 min de parada, a produção média seja 6\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.

Passo 2

Modelo teórico (a fórmula básica que usaremos) — explicando passo a passo.
  • Para filtração a pressão constante e regime laminar, a equação integrada de Darcy fornece, para volume de filtrado V (no acumulado) e tempo t:
t=\frac{\mu\alpha c}{2A^2\Delta P}V^2+\frac{\mu R_m}{A^2\Delta P}V.
Explicando cada símbolo:
  • \mu = viscosidade do fluido (água) [Pa·s]. Não precisamos do seu valor absoluto porque trabalharemos com os parâmetros obtidos pelo ensaio piloto sob a mesma \mu e \Delta P.
  • \alpha = resistividade específica do leito (m/kg) — mede quanto a torta oferece de resistência por massa de sólidos.
  • c = concentração de sólidos por volume de líquido usado na formulação do ensaio (aqui será tratado em massa/volume quando necessário).
  • A = área ativa do quadro (m^2).
  • \Delta P = diferença de pressão de filtração (Pa).
  • R_m = resistência do meio filtrante (m^{-1}).
  • V = volume de filtrado acumulado [m^3].
  • t = tempo total de filtração [s].
  • Para facilitar o ajuste dos dados definimos dois parâmetros (constantes do ensaio):
k=\frac{\mu\alpha c}{2\Delta P},\qquad k_1=\frac{\mu R_m}{\Delta P}.
Com isso a equação fica
t=\frac{k}{A^2}V^2+\frac{k_1}{A^2}V.
Reescrevendo em forma linear para ajuste experimental, divide-se por V:
\frac{t}{V}=\frac{k}{A^2}V+\frac{k_1}{A^2}.
Assim, um gráfico \,t/V versus V é (aproximadamente) linear; a inclinação dá \,k/A^2 e a interceptação vertical dá \,k_1/A^2. Usarei isso para extrair k e k_1 a partir do ensaio-piloto (onde A é conhecido).

Passo 3

Calcular a área do quadro piloto e passar volumes para SI.
  • O quadro piloto tem 12''\times12''. Convertendo polegadas para metros:
12''=12\times0{,}0254\\ \mathrm{m}=0{,}3048\\ \mathrm{m}.
Logo a área piloto
A_p=(0{,}3048)^2=0{,}09290304\\ \mathrm{m}^2.
  • Converter volumes do ensaio de litros para \mathrm{m}^3: 1\\ \mathrm{L}=0{,}001\\ \mathrm{m}^3. Assim os volumes usados serão V=\{0{,}004,\\\ 0{,}006,\\\ 0{,}008,\\ \dots,\\\ 0{,}022\}\\ \mathrm{m}^3. Os tempos já estão em segundos.

Passo 4

Montar os valores de \,t/V (em \mathrm{s/m}^3) para cada par e fazer o ajuste linear \,t/V = m\cdot V + b.
Cálculo de t/V (apenas alguns pontos para ver a tendência; eu usei os extremos para estimar a reta, que é uma prática simples e suficiente aqui):
\begin{array}{c|c} V\\ (\mathrm{m}^3) & t/V\\ (\mathrm{s/m}^3)\\hline 0{,}004 & 15/0{,}004=3750\\\\ 0{,}006 & 27/0{,}006=4500\\\\ 0{,}008 & 44/0{,}008=5500\\\\ 0{,}010 & 63/0{,}010=6300\\\\ 0{,}022 & 284/0{,}022\approx12909{,}09 \end{array}
Ajustando uma reta por aproximação usando o primeiro e o último ponto (método simples e transparente):
m=\frac{12909{,}09-3750}{0{,}022-0{,}004}=\frac{9159{,}09}{0{,}018}\approx 509\,949{,}4\\ \mathrm{s/m}^6,
b=3750-m\cdot0{,}004\approx3750-509\,949{,}4\times0{,}004\approx1709{,}2\\ \mathrm{s/m}^3.
Portanto, aproximadamente:
\frac{k}{A_p^2}=m\approx5{,}0995\times10^5,\qquad \frac{k_1}{A_p^2}=b\approx1{,}709{,}2.

Passo 5

Calcular k e k_1 (parâmetros do processo) usando A_p.
Primeiro calculo A_p^2:
A_p^2=(0{,}09290304)^2\approx0{,}0086326\\ \mathrm{m}^4.
Então
k=m\cdot A_p^2\approx5{,}09949\times10^5\times0{,}0086326\approx4{,}402\\ (\text{unidade compatível}),í
k_1=b\cdot A_p^2\approx1{,}709{,}2\times0{,}0086326\approx14{,}75.
(Arredondei valores mantendo coerência numérica: k\approx4{,}402 e k_1\approx14{,}75.)
Observação de ensino: esses k e k_1 contêm \mu e \Delta P embutidos, logo só são válidos para condições de operação iguais — o que o enunciado garantiu.

Passo 6

Expressar a equação de filtração para um quadro industrial de área A (m^2). Mantendo a mesma física:
t=\frac{k}{A^2}V^2+\frac{k_1}{A^2}V.
Aqui V é o volume filtrado por esse quadro durante a filtração (em \mathrm{m}^3) e t é o tempo de filtração (em s). No caso industrial teremos N quadros funcionando em paralelo; o volume total por ciclo V_\text{total} será dividido entre os N quadros, logo o volume por quadro é
V_f=\frac{V_\text{total}}{N}.

Passo 7

Determinar o volume total que deve ser filtrado por ciclo para atender a produção desejada.
  • Produção desejada: \,6\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Ciclo operacional: 20 min de filtração + 20 min de desmontagem = 40 min por ciclo =2/3\\ \mathrm{h}.
  • Assim, volume total por ciclo:
V_\text{total}=6\\ \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}\times\frac{2}{3}\\ \mathrm{h}=4\\ \mathrm{m}^3 \text{ por ciclo.}
Logo cada quadro precisa filtrar V_f=4/N\\ \mathrm{m}^3 durante t=20 minutos =1200\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Determinar a área A necessária por quadro em função de N.
A equação a resolver é
1200=\frac{k}{A^2}\left(\frac{4}{N}\right)^2+\frac{k_1}{A^2}\left(\frac{4}{N}\right).
Isolando A^2:
A^2=\frac{k\left(\frac{4}{N}\right)^2+k_1\left(\frac{4}{N}\right)}{1200} =\frac{\displaystyle\frac{16k}{N^2}+\frac{4k_1}{N}}{1200}.
Portanto
A=\sqrt{\frac{16k/N^2+4k_1/N}{1200}}.
Agora vamos calcular valores práticos. Usarei os valores numéricos k\approx4402 e k_1\approx14{,}75.
Calculei A para alguns números inteiros de quadros N para ver opções práticas (vou mostrar cálculos para N=4,\\\ 8,\\\ 10 que são opções industriais razoáveis):
  • Para N=4:
A=\sqrt{\frac{16\cdot4402/4^2+4\cdot14{,}75/4}{1200}} =\sqrt{\frac{4402+14{,}75}{1200}} =\sqrt{\frac{4416{,}75}{1200}}\approx\sqrt{3{,}6806}\approx1{,}919\\ \mathrm{m}^2.
  • Para N=8:
A=\sqrt{\frac{16\cdot4402/8^2+4\cdot14{,}75/8}{1200}} =\sqrt{\frac{1100{,}5+7{,}375}{1200}} =\sqrt{\frac{1107{,}875}{1200}}\approx\sqrt{0{,}92323}\approx0{,}9608\\ \mathrm{m}^2.
  • Para N=10:
A=\sqrt{\frac{16\cdot4402/100+4\cdot14{,}75/10}{1200}} =\sqrt{\frac{704{,}32+5{,}9}{1200}} =\sqrt{\frac{710{,}22}{1200}}\approx\sqrt{0{,}59185}\approx0{,}7695\\ \mathrm{m}^2.
Observação didática: note que, porque o termo quadrático (relacionado à resistência da torta, k) domina, a área por quadro escala aproximadamente como 1/N para que o tempo de filtração fique constante; por isso a espessura de torta que resulta fica praticamente constante para diferentes N (veremos isso a seguir).

Passo 9

Calcular a espessura da torta resultante.
  • Primeiro calcular a massa de sólidos que se acumula por ciclo (seca):
    • Volume filtrado por ciclo V_\text{total}=4\\ \mathrm{m}^3. Massa de água correspondente (densidade ~ 1000\\ \mathrm{kg/m}^3):
m_\text{água}=1000\cdot4=4000\\ \mathrm{kg}.á
  • A concentração dada é 0{,}15\\ \mathrm{g\\ CaCO_3}/\mathrm{g\\ H_2O}, isto é 0{,}15\\ \mathrm{kg\\ sólido}/\mathrm{kg\\ água}óá. Logo massa seca total de sólidos por ciclo:
M_s=0{,}15\cdot4000=600\\ \mathrm{kg\\ (sólidos\\ secos)}.ó
  • Massa seca por quadro: m_\text{dry}=\dfrac{600}{N}\\ \mathrm{kg}.
  • Relação massa torta molhada / massa torta seca =1{,}5. Assim água retida na torta por kg de sólidos secos é 0{,}5\\ \mathrm{kg} (pois massa molhada = massa seca + água retida =1{,}5\cdotmassa seca \Rightarrow água retida = 0{,}5\cdotmassa seca).
  • Volume ocupado pela torta (espessura) por quadro: podemos somar o volume dos sólidos e o volume da água retida (densidade sólida \rho_s=2{,}5\\ \mathrm{g/cm}^3=2500\\ \mathrm{kg/m}^3, densidade água =1000\\ \mathrm{kg/m}^3):
e=\frac{m_\text{dry}/\rho_s + m_\text{water\\ retained}/\rho_w}{A} =\frac{m_\text{dry}\left(\dfrac{1}{\rho_s}+\dfrac{0{,}5}{\rho_w}\right)}{A}.
  • Calcular o fator numérico:
\frac{1}{\rho_s}+\frac{0{,}5}{\rho_w}=\frac{1}{2500}+\frac{0{,}5}{1000}=0{,}0004+0{,}0005=0{,}0009\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Logo
e=\frac{m_\text{dry}\times0{,}0009}{A}=\frac{(600/N)\times0{,}0009}{A}=\frac{0{,}54}{N\,A}\\ \mathrm{(m)}.
Agora calculo para a opção prática escolhida N=8 (que deu área por quadro próxima de 1{,}0\\ \mathrm{m}^2, prática em filtros prensa comerciais):
  • Para N=8, A\approx0{,}9608\\ \mathrm{m}^2 (do passo anterior).
  • Espessura:
e=\frac{0{,}54}{8\times0{,}9608}\approx\frac{0{,}54}{7{,}6864}\approx0{,}0703\\ \mathrm{m}=7{,}03\\ \mathrm{cm}.
Observação prática: se escolhesse N=4 ou N=10 obteria praticamente a mesma espessura (aprox. 7{,}0\\ \mathrm{cm}); isso mostra que a espessura é praticamente determinada pelo balanço massa/área quando o regime é dominado pela resistência da torta.

Passo 10

Escolha final e justificativa prática (sugestão baseada em números industriais razoáveis):
  • Recomendo adotar N=8 quadros (um número prático e comum em filtros prensa comerciais para a produção indicada).
  • Área por quadro A\approx0{,}961\\ \mathrm{m}^2 (ou quadrado de lado aproximadamente 0{,}98\\ \mathrm{m}).
  • Espessura de torta esperada e\approx0{,}070\\ \mathrm{m}=7{,}0\\ \mathrm{cm}.
Esses valores asseguram que, em cada ciclo de 20 min de filtração, os 8 quadros juntos entreguem 4\\ \mathrm{m}^3 por ciclo (média 6\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} incluindo paradas), com as mesmas condições de operação do ensaio piloto.

Resposta

Área por quadro (industrial): 0{,}961\\ \mathrm{m}^2
Espessura da torta (industrial): 7{,}03\\ \mathrm{cm}
Número de quadros: 8

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