Os seguintes dados são para uma coluna de cromatografia líquida: comprimento do recheio 24,7 \mathrm{~cm}; Vazão 0,313 \mathrm{~mL} \mathrm{~min}^{-1}; Volume da \mathrm{FM} 1,37 \mathrm{~mL}; Volume da \mathrm{FE} 0,164 mL . O cromatograma de uma mistura das espécies A, B, C e D forneceu os seguintes dados:
Tempo de
Retençäo, min
Largura
do Pico
na Base
(H), min
Não retido
3,1
-
A
5,4
0,41
B
13,3
1,07
C
14,1
1,16
D
21,6
1,72
Calcule:
a) o número de pratos de cada pico.
b) a média e o desvio padrão para N.
c) a altura de prato para a coluna.
d) a resolução e o fator de seletividade para as espécies B e C
e) o comprimento da coluna necessário para separar as duas espécies (B e C) com uma resolução de 1,5.
f) a constante de distribuição para A e D.
g) o diâmetro(cm) interno da coluna. ?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes números no enunciado):
Comprimento da coluna: L=24{,}7\\ \mathrm{cm}.
Vazão: F=0{,}313\\ \mathrm{mL\\ min^{-1}}.
Volume da fase móvel (dado): V_{M}=1{,}37\\ \mathrm{mL}.
Volume da fase estacionária (dado): V_{E}=0{,}164\\ \mathrm{mL}.
Tempo do composto não retido (tempo morto): t_{0}=3{,}1\\ \mathrm{min}.
Cromatograma (peguei esses tempos e larguras na tabela):
A: t_{R,A}=5{,}4\\ \mathrm{min}, largura na base w_{A}=0{,}41\\ \mathrm{min}.
B: t_{R,B}=13{,}3\\ \mathrm{min}, largura na base w_{B}=1{,}07\\ \mathrm{min}.
C: t_{R,C}=14{,}1\\ \mathrm{min}, largura na base w_{C}=1{,}16\\ \mathrm{min}.
D: t_{R,D}=21{,}6\\ \mathrm{min}, largura na base w_{D}=1{,}72\\ \mathrm{min}.
Perguntas:
a) número de pratos N para cada pico;
b) média e desvio padrão de N;
c) altura de prato H da coluna;
d) resolução R_s e fator de seletividade \alpha para B e C;
e) comprimento necessário para separar B e C com R_s=1{,}5;
f) constante de distribuição (partição) para A e D;
g) diâmetro interno da coluna (cm).
Passo 2
Fórmula para o número de pratos teóricos N quando a largura é medida na base do pico:
N = 16\left(\dfrac{t_R}{w}\right)^2.
Explicação didática curta: essa fórmula vem do modelo de picos gaussianos onde a largura na base w está relacionada ao desvio padrão \sigma por w=4\sigma; como N=(t_R/\sigma)^2 para um pico ideal, substitui-se \sigma=w/4 e obtém-se a expressão acima. Aqui t_R é o tempo de retenção do pico e w é a largura na base.
Passo 3
Cálculo de N para cada composto (aplico a fórmula usando os dados do enunciado).
Interpretação: \alpha é pouco maior que 1, indicando que os compostos são quimicamente muito semelhantes (diferença pequena na retenção), o que explica a baixa resolução atual.
Passo 7
Comprimento de coluna necessário para obter R_s=1{,}5 entre B e C.
Raciocínio: para um sistema com mesmas condições cromatográficas e mesmas eficiência por unidade de comprimento (ou seja, assumindo H constante), o número de pratos N é proporcional ao comprimento L (pois N=L/H). A resolução R_s cresce com \sqrt{N} (porque as larguras dos picos crescem como \sqrt{1/N}), logo
Portanto seria necessária uma coluna muito mais longa (≈1,08 m) para obter R_s=1{,}5 sem mudar outras condições.
Passo 8
Constante de distribuição (partição) para A e D.
Teoria e fórmula: para colunas de partição/adsorção, a retenção pode ser descrita por
V_R = V_M + K\,V_E,
onde V_R é o volume de retenção do soluto, V_M é o volume da fase móvel (aqui dado como V_M), V_E é o volume da fase estacionária (aqui dado como V_E) e K é a constante de distribuição (razão de concentrações fase estacionária/fase móvel). Reorganizando:
k'=\dfrac{V_R-V_M}{V_M}=\dfrac{K\,V_E}{V_M}\quad\Rightarrow\quad K = k'\dfrac{V_M}{V_E}.
Aqui uso os V_M e V_E que o enunciado forneceu: V_M=1{,}37\\ \mathrm{mL} e V_E=0{,}164\\ \mathrm{mL}. (Observação: o tempo morto t_0=3{,}1\\ \mathrm{min} multiplicado pela vazão dá um volume morto V_0=F\cdot t_0\approx0{,}313\times3{,}1\approx0{,}9703\\ \mathrm{mL}, diferente de V_M fornecido; seguirei o enunciado e usarei os V_M e V_E dados para calcular K.)
Ou seja d\approx 0{,}281\\ \mathrm{cm}=2{,}81\\ \mathrm{mm}.
Observação: se em vez de usar V_M o usuário preferir usar o volume morto calculado pela vazão e t_0 (≈0,9703 mL), daria um volume total menor e um diâmetro diferente; porém a questão deu explicitamente V_M e V_E, então usei esses valores.