As seguintes EDOs são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Classifique-as em : linear (L), a variáveis separáveis (VS), exatas (E) ou a coeficientes homogêneos (H):
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
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Estão apresentadas duas equações diferenciais:
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. -
.
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O que é pedido: para cada equação, identificar qual(is) das classificações vale(m): linear (L), a variáveis separáveis (VS), exata (E) ou a coeficientes homogêneos (H).
Passo 2
Antes de analisar cada equação, vou explicar de forma simples e prática o que cada tipo significa (assim você lembra na prova):
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Linear (L), ordem 1: uma EDO de primeira ordem é linear se pode ser escrita na formaonde
e dependem só de . É importante: o termo com aparece multiplicado por uma função de (não por funções de nem por potências não-lineares de ). -
Variáveis separáveis (VS): é quando se consegue escrever a EDO como uma multiplicação de duas funções separadas em
e , isto é ou equivalentemente. Nesse caso basta integrar dos dois lados. -
Exata (E): para uma equação no formato diferencialela é exata se
numa região onde as funções são diferenciáveis. Isso significa que existe uma função potencial tal que . -
Coeficientes homogêneos (H) — ou “de variáveis homogêneas”: uma EDO do tipo(ou, em forma diferencial,
e homogêneos do mesmo grau) é chamada homogênea. Em prática, verifique se a expressão depende apenas de .
Essas definições são as ferramentas que vou usar para testar cada equação.
Passo 3
Análise da primeira equação
.
- Colocar em forma diferencial e tentar separar:
Multiplicando ambos os lados por e por obtemos Isso já mostra que as variáveis estão separadas: um lado depende só de e o outro só de . Portanto é possível integrar:
ou equivalentemente
. Esse cálculo ilustra a técnica de separação de variáveis.
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Teste de linearidade: a forma linear exigiria escrever a EDO como
. Aqui a derivada aparece igual a , que depende de . Não há como colocar essa equação na forma linear de primeira ordem porque o termo que envolve não é apenas (é ). Logo não é linear. -
Teste de exatidão: escrevendo como
. A forma equivalente é logoe .
Calcule as parciais:Como, a equação não é exata (pelo menos sem fator integrante). -
Teste de homogeneidade: o lado direito
não é função apenas de (por exemplo, se tentarmos escrever em termos de aparece um fator ou outras dependências em ). Portanto não é homogênea no sentido .
Resumo intermédio: a equação admite separação de variáveis (mostrado pelo rearranjo e integração), não é linear, não é exata e não é homogênea.
Passo 4
Análise da segunda equação
.
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Passar para forma normal (derivada): dividir por
(assumindo ) dá ou reorganizando, -
Verificação de separabilidade: escrevendopodemos dividir por
(quando ) e multiplicar por : que é exatamente a forma separável. Integramos:
portanto
. Isso demonstra o método de separação aplicado aqui.
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Verificação de linearidade: a equação já pode ser escrita comoque é da forma
com e . Portanto é uma EDO linear de primeira ordem (é uma linear homogênea porque ). Note que ser linear e homogênea aqui significa que a equação linear tem membro independente zero; isto é compatível com o que encontramos. -
Teste de exatidão (na forma diferencial original): com
e (pois dá ). Calculando: Como não são iguais, a equação não é exata. -
Teste de homogeneidade: a forma
não é uma função apenas de . Por exemplo, tem dependência explícita em além de . Ou olhando para e : é homogêneo de grau enquanto é de grau , graus diferentes — portanto não são homogêneos do mesmo grau. Logo não é do tipo H.
Resumo intermédio: a equação é linear (L) e permite separação de variáveis (VS); não é exata nem homogênea.
Passo 5
Breve comentário final e incentivo: você já viu como aplicar as definições diretamente nas equações — separar, colocar na forma padrão linear, ou verificar a condição de exatidão são passos mecânicos que caem muito na prova. Se ficar inseguro, tente sempre reescrever a equação numa das formas padrão (ou diferencial) e aplicar as quatro verificações que fizemos acima. Vai dar certo!