As seguintes EDOs são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Classifique-as em : linear (L), a variáveis separáveis (VS), exatas (E) ou a coeficientes homogêneos (H):
\quad y^{\prime}=\frac{1}{x y} ; \quad x y d x-d y=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Estão apresentadas duas equações diferenciais:
    • \;y'=\dfrac{1}{x\,y}.
    • \;x\,y\,dx-dy=0.
  • O que é pedido: para cada equação, identificar qual(is) das classificações vale(m): linear (L), a variáveis separáveis (VS), exata (E) ou a coeficientes homogêneos (H).

Passo 2

Antes de analisar cada equação, vou explicar de forma simples e prática o que cada tipo significa (assim você lembra na prova):
  • Linear (L), ordem 1: uma EDO de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
    y' + p(x)\,y = q(x),
    onde p(x) e q(x) dependem só de x. É importante: o termo com y aparece multiplicado por uma função de x (não por funções de y nem por potências não-lineares de y).
  • Variáveis separáveis (VS): é quando se consegue escrever a EDO como uma multiplicação de duas funções separadas em x e y, isto é
    g(y)\,dy = f(x)\,dx,
    ou equivalentemente y' = F(x)\,G(y). Nesse caso basta integrar dos dois lados.
  • Exata (E): para uma equação no formato diferencial
    M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
    ela é exata se \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} numa região onde as funções são diferenciáveis. Isso significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy.
  • Coeficientes homogêneos (H) — ou “de variáveis homogêneas”: uma EDO do tipo
    y' = F\!\left(\frac{y}{x}\right)
    (ou, em forma diferencial, M e N homogêneos do mesmo grau) é chamada homogênea. Em prática, verifique se a expressão depende apenas de y/x.
Essas definições são as ferramentas que vou usar para testar cada equação.

Passo 3

Análise da primeira equação \;y'=\dfrac{1}{x\,y}.
  1. Colocar em forma diferencial e tentar separar: \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\,y}.Multiplicando ambos os lados por y e por dx obtemos y\,dy=\frac{1}{x}\,dx.Isso já mostra que as variáveis estão separadas: um lado depende só de y e o outro só de x. Portanto é possível integrar: \int y\,dy=\int\frac{1}{x}\,dx
\frac{1}{2}y^{2}=\ln|x|+C,
ou equivalentemente y^{2}=2\ln|x|+C'. Esse cálculo ilustra a técnica de separação de variáveis.
  1. Teste de linearidade: a forma linear exigiria escrever a EDO como y'+p(x)y=q(x). Aqui a derivada aparece igual a 1/(x y), que depende de 1/y. Não há como colocar essa equação na forma linear de primeira ordem porque o termo que envolve y não é apenas p(x)\,y 1/y). Logo não é linear.
  2. Teste de exatidão: escrevendo como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. A forma equivalente é
    -\frac{1}{x\,y}\,dx + 1\cdot dy = 0,
    logo M(x,y)=-\dfrac{1}{x\,y} e N(x,y)=1.
    Calcule as parciais:
    \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{1}{x\,y}\right)=\frac{1}{x\,y^{2}}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
    Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata (pelo menos sem fator integrante).
  3. Teste de homogeneidade: o lado direito \dfrac{1}{x\,y} não é função apenas de \dfrac{y}{x} (por exemplo, se tentarmos escrever em termos de y/x aparece um fator 1/(x^2) ou outras dependências em x). Portanto não é homogênea no sentido y'=F(y/x).
Resumo intermédio: a equação admite separação de variáveis (mostrado pelo rearranjo e integração), não é linear, não é exata e não é homogênea.

Passo 4

Análise da segunda equação \;x\,y\,dx - dy = 0.
  1. Passar para forma normal (derivada): dividir por dx (assumindo dx\neq0) dá
    -\frac{dy}{dx} + x\,y = 0,
    ou reorganizando,
    \frac{dy}{dx}=x\,y.
  2. Verificação de separabilidade: escrevendo
    \frac{dy}{dx}=x\,y
    podemos dividir por y (quando y\neq0) e multiplicar por dx:
    \frac{1}{y}\,dy = x\,dx,
    que é exatamente a forma separável. Integramos:
    \int\frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx
\ln|y| = \frac{x^{2}}{2}+C,
portanto y=C_{1}e^{x^{2}/2}. Isso demonstra o método de separação aplicado aqui.
  1. Verificação de linearidade: a equação já pode ser escrita como
    \frac{dy}{dx} - x\,y = 0,
    que é da forma y' + p(x)\,y = q(x) com p(x)=-x e q(x)=0. Portanto é uma EDO linear de primeira ordem (é uma linear homogênea porque q(x)=0). Note que ser linear e homogênea aqui significa que a equação linear tem membro independente zero; isto é compatível com o que encontramos.
  2. Teste de exatidão (na forma diferencial original): com M(x,y)=x\,y e N(x,y)=-1 (pois x\,y\,dx - dy = 0 M\,dx+N\,dy=0). Calculando:
    \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-1)=0.
    Como não são iguais, a equação não é exata.
  3. Teste de homogeneidade: a forma dy/dx = x\,y não é uma função apenas de y/x. Por exemplo, x\,y = x^{2}\cdot(y/x) tem dependência explícita em x além de y/x. Ou olhando para M e N: M=x\,y é homogêneo de grau 2 enquanto N=-1 é de grau 0, graus diferentes — portanto não são homogêneos do mesmo grau. Logo não é do tipo H.
Resumo intermédio: a equação é linear (L) e permite separação de variáveis (VS); não é exata nem homogênea.

Passo 5

Breve comentário final e incentivo: você já viu como aplicar as definições diretamente nas equações — separar, colocar na forma padrão linear, ou verificar a condição de exatidão são passos mecânicos que caem muito na prova. Se ficar inseguro, tente sempre reescrever a equação numa das formas padrão (ou diferencial) e aplicar as quatro verificações que fizemos acima. Vai dar certo!

Resposta

y'=\dfrac{1}{x\,y}\;:\;\text{VS}
x\,y\,dx-dy=0\;:\;\text{L, VS}

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