Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: resolver o problema de valor inicial (PVI)
- O que é pedido:
- Mostrar que a equação pode ser transformada em uma equação exata (ou encontrar um fator integrante que torne a forma exata).
- Encontrar uma função real
tal que a solução é dada por constante. - Usar a condição inicial para identificar a solução particular.
Informações claras:
é a variável independente (tempo) e
é a função dependente que queremos achar. A derivada em relação a
é
.
Passo 2
Transformar a equação em uma forma diferencial do tipo
, para testar exatidão.
Começo escrevendo a equação como
Multiplicando por
,
Logo posso identificar
de modo que a forma diferencial é
Passo 3
Testar exatidão da forma
.
A condição de exatidão é
.
Calculo:
Como
, a forma não é exata. Então precisamos de um fator integrante. Para equações lineares de primeira ordem é natural procurar um fator integrante que dependa só de
.
Passo 4
Achar o fator integrante dependente de
.
A equação original pode ser escrita no formato linear padrão
Aqui
e
. O fator integrante padrão é
Multiplico a equação original por
. Isso transforma a equação em
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada de um produto:
Explicação curta: em geral
e aqui
, então
, que coincide com a expressão acima.
Passo 5
Multiplicar a forma diferencial original pelo fator integrante e mostrar exatidão; construir
.
A forma multiplicada por
é
Agora defino
Verifico exatidão:
Como são iguais, a forma é exata. Assim existe
com
Para encontrar
integro
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Agora imponho que
. Calculo
Igualando a
dá
Cancelando
dos dois lados obtemos
Passo 6
Integrar
e escrever
.
Calculo
. Faço a integral por partes (ou uso integral conhecida).
Usando integração por partes, seja e
. Então
e
. Assim
Usando integração por partes, seja
Portanto
Logo
A condição da equação exata é
. Podemos eliminar a constante
agrupando-a na constante geral da solução: escrevo
A solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Usar a condição inicial para encontrar a constante e obter a solução particular.
A condição inicial é
. Avalio
em
:
Portanto
. A relação implícita fica