A qual das seguintes espécies aplica-se a teoria de Bohr? a) H; b) \mathrm{H}^{+}; c) He ; d) \mathrm{He}^{+}; e) Li ; f) \mathrm{Li}^{+}; g) \mathrm{Li}^{2+}; h) Be ; i) \mathrm{Be}^{+}; j) \mathrm{Be}^{2+}; k) \mathrm{Be}^{3+}.

Passo 1

O enunciado pergunta: a quais das espécies listadas se aplica a teoria de Bohr? As espécies fornecidas são:
  • a) \mathrm{H}
  • b) \mathrm{H}^{+}
  • c) \mathrm{He}
  • d) \mathrm{He}^{+}
  • e) \mathrm{Li}
  • f) \mathrm{Li}^{+}
  • g) \mathrm{Li}^{2+}
  • h) \mathrm{Be}
  • i) \mathrm{Be}^{+}
  • j) \mathrm{Be}^{2+}
  • k) \mathrm{Be}^{3+}
O objetivo é identificar, entre essas opções, para quais a teoria de Bohr é aplicável.

Passo 2

O que diz, em poucas palavras, a teoria de Bohr (versão que vamos usar aqui): Bohr modela átomos como um único elétron movendo-se em órbitas circulares ao redor do núcleo, com duas ideias-chave:
  1. os momentos angulares permitidos são quantizados: m_e v r = n\hbar com n=1,2,3,\dots;
  2. a força centrípeta é fornecida pela força coulombiana entre núcleo (carga +Ze) e elétron (carga -e): \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Z e^2}{r^2} = \dfrac{m_e v^2}{r}.
Dessas relações obtém-se fórmulas úteis (vou explicar cada símbolo):
  • m_e é a massa do elétron;
  • v é a velocidade do elétron na órbita;
  • r é o raio da órbita;
  • n é o número quântico principal (inteiro positivo);
  • \hbar é a constante de Planck reduzida;
  • Z é o número atômico (carga nuclear, por exemplo Z=1 para H, Z=2 para He);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • e é a carga elementar.
Dessas hipóteses deriva-se:
r_n = \frac{a_0 n^2}{Z},
onde \displaystyle a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2} é o raio de Bohr (valor aproximado \,a_0=5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}).
E a energia do nível n é
E_n = -13,6\\ \mathrm{eV}\; \frac{Z^2}{n^2}.
(Neste último, E_n é a energia total do elétron no nível n, medida em eletrón-volts; o número -13,6\\ \mathrm{eV} é o valor para Z=1 e n=1.)

Passo 3

Critério prático de aplicabilidade: a teoria de Bohr, na sua forma simples e quantitativa, aplica-se bem a sistemas “hydrogenoides” — isto é, sistemas com exatamente um elétron (um elétron orbitando um núcleo com carga +Ze). Exemplos: \mathrm{H} (átomo de hidrogênio), \mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}, \mathrm{Be}^{3+}, etc.
Observações importantes:
  • Se não há elétron (por exemplo \mathrm{H}^{+}, que é apenas um próton), não faz sentido aplicar o modelo de um elétron orbitando — logo não se aplica.
  • Se há mais de um elétron (átomos neutros ou íons com mais de um elétron), as interações elétron–elétron tornam o problema muito diferente e a teoria de Bohr simples não é aplicável de forma quantitativa.

Passo 4

Agora vamos verificar para cada espécie quantos elétrons existem (regra: número de elétrons = Z menos carga positiva do íon; para átomos neutros, elétrons = Z). O número atômico Z de cada elemento é: H \Rightarrow Z=1, He \Rightarrow Z=2, Li \Rightarrow Z=3, Be \Rightarrow Z=4.
  • a) \mathrm{H}: elétrons =1 (aplicável).
  • b) \mathrm{H}^{+}: elétrons =1-1=0 (não aplicável — não há elétron).
  • c) \mathrm{He}: elétrons =2 (não aplicável — dois elétrons).
  • d) \mathrm{He}^{+}: elétrons =2-1=1 (aplicável).
  • e) \mathrm{Li}: elétrons =3 (não aplicável).
  • f) \mathrm{Li}^{+}: elétrons =3-1=2 (não aplicável).
  • g) \mathrm{Li}^{2+}: elétrons =3-2=1 (aplicável).
  • h) \mathrm{Be}: elétrons =4 (não aplicável).
  • i) \mathrm{Be}^{+}: elétrons =4-1=3 (não aplicável).
  • j) \mathrm{Be}^{2+}: elétrons =4-2=2 (não aplicável).
  • k) \mathrm{Be}^{3+}: elétrons =4-3=1 (aplicável).
Portanto, as espécies com exatamente um elétron são: \mathrm{H}, \mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+} e \mathrm{Be}^{3+}.

Passo 5

Para fixar a ideia, aplicando a fórmula de energia de Bohr para o estado fundamental n=1:
  • Para \mathrm{H} ( Z=1):
E_1 = -13,6\\ \mathrm{eV}\;\frac{1^2}{1^2} = -13,6\\ \mathrm{eV}.
  • Para \mathrm{He}^{+} ( Z=2):
E_1 = -13,6\\ \mathrm{eV}\;\frac{2^2}{1^2} = -13,6\cdot4 = -54,4\\ \mathrm{eV}.
  • Para \mathrm{Li}^{2+} ( Z=3):
E_1 = -13,6\\ \mathrm{eV}\;\frac{3^2}{1^2} = -13,6\cdot9 = -122,4\\ \mathrm{eV}.
  • Para \mathrm{Be}^{3+} ( Z=4):
E_1 = -13,6\\ \mathrm{eV}\;\frac{4^2}{1^2} = -13,6\cdot16 = -217,6\\ \mathrm{eV}.
Esses valores mostram como a energia do elétron ligado aumenta em módulo com Z^2 para átomos hidrogenoides.

Passo 6

Comentário final (motivacional e de limitação): então dá pra usar Bohr exatamente quando há um único elétron. Para átomos com vários elétrons a teoria de Bohr falha quantitativamente (é útil como ideia qualitativa histórica, mas para cálculos precisos usa-se mecânica quântica (equação de Schrödinger) com correções). Mas para a prova e para identificar rapidamente se o Bohr vale, basta checar se a espécie é um íon hidrogenoide (apenas 1 elétron). Você já conseguiu — vai dar certo!

Resposta

a) \mathrm{H}
d) \mathrm{He}^{+}
g) \mathrm{Li}^{2+}
k) \mathrm{Be}^{3+}

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