Nos seguintes exercícios, calcule
e prove que
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para a função
calcular as segundas derivadas parciais
,
e provar que as derivadas mistas
e
coincidem. O tema aqui é derivação parcial de funções de duas variáveis, usando a regra da cadeia e a linearidade da derivada.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em
:
Pela regra da cadeia,
e
Logo,
Passo 3
Agora derivamos
em
para obter
:
Temos
Portanto
Passo 4
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em
:
Pela cadeia,
e
Logo
Passo 5
Derivar
em
para obter
:
Para o termo exponencial use produto
,
:
Então
E
Assim
Passo 6
Calcular a mista
:
O termo
some e, para
,
Logo
Passo 7
Calcular a mista
:
O termo
some e, aplicando produto em
:
Portanto
Passo 8
Comparando
vemos que
, como exige o Teorema de Clairaut sempre que
é suficientemente suave.
Resposta
E