Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de f especificadas:
f(x, y, z)=x^{2}-y^{2} em um ponto genérico da superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 na direção do vetor normal unitário que aponta para fora, neste ponto da superfície.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}
em um ponto genérico (x,y,z) da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
na direção do vetor normal unitário que aponta para fora da superfície.
Conteúdo: derivada direcional usando o gradiente de f e o vetor normal unitário da superfície.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f. Por definição,
\bigl(\nabla f\bigr)(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr)
Logo,
\nabla f(x,y,z) = (2x,\,-2y,\,0).

Passo 3

Agora encontramos o vetor normal não unitário da esfera
g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.
Como \nabla g(x,y,z)=(2x,2y,2z), esse é um normal que aponta para fora. Para torná-lo unitário, dividimos pelo seu módulo: como \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{4}=2, temos
n(x,y,z) =\frac{\nabla g(x,y,z)}{\|\nabla g(x,y,z)\|} =\frac{(2x,2y,2z)}{2} =(x,y,z)/2.

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de n é
D_{n}f =\nabla f\cdot n =(2x,\,-2y,\,0)\cdot\frac{(x,y,z)}{2} =\;2x\cdot\frac{x}{2}\;+\;(-2y)\cdot\frac{y}{2}\;+\;0\cdot\frac{z}{2} =x^{2}-y^{2}.

Resposta

D_{n}f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}.

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