Nos seguintes exercícios, encontre o domínio de f e descreva a região em \mathbb{R}^{3} que seja o conjunto de pontos no domínio.
f(x, y, z)=\frac{z}{x^{2}-y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar o domínio de f e descrever a região em \mathbb{R}^{3} que corresponde ao conjunto de pontos do domínio.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{z}{x^{2}-y}.
  • As variáveis são x, y e z, todas reais, ou seja, estamos trabalhando em \mathbb{R}^{3}.
  • A expressão tem um denominador x^{2}-y, que depende só de x e y (o z aparece apenas no numerador).

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? Domínio de uma função é o conjunto de pontos (x,y,z) para os quais a expressão que define a função faz sentido e produz um número real bem definido. No caso de uma fração, a única restrição imediata é que o denominador não pode ser zero (porque divisão por zero não existe nos reais).
Aplicando isso ao nosso caso: a condição para que f(x,y,z) esteja bem definida é que o denominador seja diferente de zero. Escrevemos essa condição em forma matemática:
x^{2}-y \neq 0.
Resolver essa desigualdade em termos de y é simples: isso é equivalente a
y \neq x^{2}.

Passo 3

Agora damos a descrição do domínio em notação de conjuntos. O domínio D é o conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} tais que y não é igual a x^{2}. Em forma explícita:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}-y\neq 0\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y\neq x^{2}\}.

Passo 4

Descrição geométrica da região no espaço: a superfície onde y=x^{2} é uma superfície em \mathbb{R}^{3} que, para cada valor fixo de z, corta o plano z= constante em uma parábola y=x^{2}. Essa superfície é um “cilindro parabólico” (às vezes chamado de superfície parabólica ou parabolic cylinder) que se estende indefinidamente na direção do eixo z. O domínio é todo o espaço \mathbb{R}^{3} exceto essa superfície.
Mais explicitamente, o domínio é a união de duas regiões abertas separadas pela superfície y=x^{2}:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y>x^{2}\}\quad\text{e}\quad\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y<x^{2}\},
ou seja, todos os pontos com y estritamente maior que x^{2} ou estritamente menor que x^{2}; para qualquer par (x,y) com y\neq x^{2} qualquer z\in\mathbb{R} é permitido.

Passo 5

Exemplos rápidos para checar o entendimento:
  • O ponto (1,1,0) não pertence ao domínio porque 1=1^{2}, o denominador fica zero.
  • O ponto (1,2,5) pertence ao domínio porque 2\neq 1^{2}; a divisão é \dfrac{5}{1-2}=-5.
  • O ponto (0,-1,100) pertence ao domínio porque -1\neq 0^{2}; aqui z não afeta a condição de validade, só o numerador.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}-y\neq 0\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y\neq x^{2}\}\n
Concretamente: é \mathbb{R}^{3} com a superfície parabólica y=x^{2} removida; equivalentemente \{y>x^{2}\}\cup\{y<x^{2}\}, com z livre.

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