Nos seguintes exercícios, encontre o domínio de
e descreva a região em
que seja o conjunto de pontos no domínio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o domínio de
e descrever a região em
que corresponde ao conjunto de pontos do domínio.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - As variáveis são
, e , todas reais, ou seja, estamos trabalhando em . - A expressão tem um denominador
, que depende só de e (o aparece apenas no numerador).
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? Domínio de uma função é o conjunto de pontos
para os quais a expressão que define a função faz sentido e produz um número real bem definido. No caso de uma fração, a única restrição imediata é que o denominador não pode ser zero (porque divisão por zero não existe nos reais).
Aplicando isso ao nosso caso: a condição para que
esteja bem definida é que o denominador seja diferente de zero. Escrevemos essa condição em forma matemática:
Resolver essa desigualdade em termos de
é simples: isso é equivalente a
Passo 3
Agora damos a descrição do domínio em notação de conjuntos. O domínio
é o conjunto de todos os pontos
tais que
não é igual a
. Em forma explícita:
Passo 4
Descrição geométrica da região no espaço: a superfície onde
é uma superfície em
que, para cada valor fixo de
, corta o plano
constante em uma parábola
. Essa superfície é um “cilindro parabólico” (às vezes chamado de superfície parabólica ou parabolic cylinder) que se estende indefinidamente na direção do eixo
. O domínio é todo o espaço
exceto essa superfície.
Mais explicitamente, o domínio é a união de duas regiões abertas separadas pela superfície
:
ou seja, todos os pontos com
estritamente maior que
ou estritamente menor que
; para qualquer par
com
qualquer
é permitido.
Passo 5
Exemplos rápidos para checar o entendimento:
- O ponto
não pertence ao domínio porque , o denominador fica zero. - O ponto
pertence ao domínio porque ; a divisão é . - O ponto
pertence ao domínio porque ; aqui não afeta a condição de validade, só o numerador.
Resposta
Concretamente: é