3.23 (a) Uma carga pontual
localiza-se na origem. Mostre que div
é zero em todos os pontos exceto na origem. (b) Substitua a carga pontual por uma densidade volumétrica uniforme de carga
para
. Relacione
com
e
de modo que a carga total seja a mesma. Encontre div
em todos os pontos.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que é dado e o que pede:
-
Dados para a parte (a):
- Uma carga pontual
está localizada na origem ( ). - Queremos mostrar que
é zero em todos os pontos exceto na origem.
- Uma carga pontual
-
Dados para a parte (b):
- A carga pontual é substituída por uma densidade volumétrica uniforme
válida para (ou seja, carga distribuída uniformemente numa esfera de raio ). - Deve-se relacionar
com e de modo que a carga total seja . - Deve-se encontrar
em todos os pontos (ou seja, dentro e fora da região de carga).
- A carga pontual é substituída por uma densidade volumétrica uniforme
Observações úteis que vêm do enunciado (listadas como informações que podemos usar mais adiante):
- Para campos eletrostáticos em vácuo, usamos a relação entre
e : , onde é a permissividade do vácuo. - A lei de Coulomb (campo de uma carga pontual) e a lei integral de Gauss serão ferramentas naturais para determinar
e, em seguida, calcular .
Não vou resolver nada neste passo — apenas coloquei o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Expressar o campo
para a carga pontual e revisar fórmulas necessárias.
Primeiro, relembre a expressão do campo elétrico
criado por uma carga pontual
no vácuo, no ponto a distância
da origem:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a distância radial ao ponto observado, -
é o vetor unitário radial (apontando para fora da origem).
Como
, obtemos
Aqui expliquei cada símbolo e por que
cancela: é direto de
.
Agora precisamos calcular
. Como o campo é radial e só depende de
, é conveniente usar a fórmula do divergente em coordenadas esféricas (apenas a parte radial é necessária). A fórmula para o divergente de um campo puramente radial
é
Vou usar essa fórmula para
.
Passo 3
Aplicar a fórmula do divergente ao campo da carga pontual (parte a).
Temos
. Então o componente radial é
Substituindo na fórmula do divergente:
Como
é constante em
, sua derivada é zero. Logo, para
,
Isso mostra explicitamente que
é zero em todos os pontos com
.
Passo 4
Interpretação no ponto
(a singularidade) e argumento pelo Teorema da Divergência.
Embora o cálculo direto mostre
para
, sabemos que a carga total
está concentrada na origem. Para ver o que acontece na origem, usamos o teorema da divergência (Lei de Gauss integral):
Escolha
como uma esfera de raio
centrada na origem. A integral de superfície dá
Portanto a integral de
sobre qualquer esfera contendo a origem é
. Se
fosse zero em toda a esfera, a integral seria zero — logo existe uma contribuição concentrada na origem. Isso é descrito matematicamente pela função delta de Dirac
: em sentido de distribuições
Resumindo a parte (a): cálculo pontual dá zero para
, e a integral sobre qualquer volume contendo a origem dá
, o que equivale a dizer que há uma singularidade do tipo delta na origem.
Passo 5
Passo inicial da parte (b): relacionar
com
e
.
A densidade volumétrica uniforme
(constante) está presente para
. A carga total
deve ser igual à integral de
sobre o volume da esfera de raio
. Usamos coordenadas esféricas: o elemento de volume é
. Assim
As integrais angulares valem
, e a integral radial é
. Logo
Daí isolamos
:
Isso garante que a carga total da esfera de raio
seja
.
Passo 6
Determinar
e
para
e para
(continuação da parte b).
Pelo princípio da simetria esférica e pela forma da lei de Gauss (forma integral),
-
para
(dentro da esfera), a carga encerrada por uma esfera de raio é Aplicando a lei de Gauss, com , AssimeAgora calculeusando : Portanto, no interior (), — exatamente a densidade volumétrica de carga, como esperado pela forma diferencial da lei de Gauss: -
para
(fora da esfera), toda a carga está contida no interior. Pelo mesmo raciocínio de simetria, fora da esfera o campo é igual ao campo de uma carga pontual localizada na origem: Como já fizemos na parte (a), paradesta expressão vale
No ponto
o componente normal
é contínuo (não há carga superficial extra), pois o valor limite interno
e o valor externo
coincidem quando usamos a relação
. (Isto é uma verificação de consistência.)
Resposta
(a)
]