3.23 (a) Uma carga pontual Q localiza-se na origem. Mostre que div \mathbf{D} é zero em todos os pontos exceto na origem. (b) Substitua a carga pontual por uma densidade volumétrica uniforme de carga \rho_{\nu 0} para 0<r<a. Relacione \rho_{v 0} com Q e a de modo que a carga total seja a mesma. Encontre div \mathbf{D} em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que é dado e o que pede:
  • Dados para a parte (a):
    • Uma carga pontual Q está localizada na origem ( r=0).
    • Queremos mostrar que \operatorname{div}\mathbf{D} é zero em todos os pontos exceto na origem.
  • Dados para a parte (b):
    • A carga pontual é substituída por uma densidade volumétrica uniforme \rho_{v0} válida para 0<r<a (ou seja, carga distribuída uniformemente numa esfera de raio a).
    • Deve-se relacionar \rho_{v0} com Q e a de modo que a carga total seja Q.
    • Deve-se encontrar \operatorname{div}\mathbf{D} em todos os pontos (ou seja, dentro e fora da região de carga).
Observações úteis que vêm do enunciado (listadas como informações que podemos usar mais adiante):
  • Para campos eletrostáticos em vácuo, usamos a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{D}: \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}, onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • A lei de Coulomb (campo de uma carga pontual) e a lei integral de Gauss serão ferramentas naturais para determinar \mathbf{D} e, em seguida, calcular \operatorname{div}\mathbf{D}.
Não vou resolver nada neste passo — apenas coloquei o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Expressar o campo \mathbf{D} para a carga pontual e revisar fórmulas necessárias.
Primeiro, relembre a expressão do campo elétrico \mathbf{E} criado por uma carga pontual Q no vácuo, no ponto a distância r da origem:
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\hat{r},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • r é a distância radial ao ponto observado,
  • \hat{r} é o vetor unitário radial (apontando para fora da origem).
Como \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}, obtemos
\mathbf{D}(r)=\varepsilon_0\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\hat{r}=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\hat{r}.
Aqui expliquei cada símbolo e por que \varepsilon_0 cancela: é direto de \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}.
Agora precisamos calcular \operatorname{div}\mathbf{D}. Como o campo é radial e só depende de r, é conveniente usar a fórmula do divergente em coordenadas esféricas (apenas a parte radial é necessária). A fórmula para o divergente de um campo puramente radial \mathbf{A}=A_r(r)\hat r é
\operatorname{div}\mathbf{A}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}A_r(r)\big).
Vou usar essa fórmula para \mathbf{D}.

Passo 3

Aplicar a fórmula do divergente ao campo da carga pontual (parte a).
Temos \mathbf{D}(r)=\dfrac{Q}{4\pi r^{2}}\hat r. Então o componente radial é
D_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}.
Substituindo na fórmula do divergente:
\operatorname{div}\mathbf{D}(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Big(r^{2}\cdot \frac{Q}{4\pi r^{2}}\Big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Big(\frac{Q}{4\pi}\Big).
Como \dfrac{Q}{4\pi} é constante em r, sua derivada é zero. Logo, para r\neq 0,
\operatorname{div}\mathbf{D}(r)=0.
Isso mostra explicitamente que \operatorname{div}\mathbf{D} é zero em todos os pontos com r\neq 0.

Passo 4

Interpretação no ponto r=0 (a singularidade) e argumento pelo Teorema da Divergência.
Embora o cálculo direto mostre \operatorname{div}\mathbf{D}=0 para r\neq 0, sabemos que a carga total Q está concentrada na origem. Para ver o que acontece na origem, usamos o teorema da divergência (Lei de Gauss integral):
\int_{V}\operatorname{div}\mathbf{D}\,dV=\oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}.
Escolha V como uma esfera de raio R centrada na origem. A integral de superfície dá
\oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=D_r(R)\cdot 4\pi R^{2}=\frac{Q}{4\pi R^{2}}\cdot 4\pi R^{2}=Q.
Portanto a integral de \operatorname{div}\mathbf{D} sobre qualquer esfera contendo a origem é Q. Se \operatorname{div}\mathbf{D} fosse zero em toda a esfera, a integral seria zero — logo existe uma contribuição concentrada na origem. Isso é descrito matematicamente pela função delta de Dirac \delta(\mathbf{r}): em sentido de distribuições
\operatorname{div}\mathbf{D}(\mathbf{r})=Q\,\delta(\mathbf{r}).
Resumindo a parte (a): cálculo pontual dá zero para r\neq 0, e a integral sobre qualquer volume contendo a origem dá Q, o que equivale a dizer que há uma singularidade do tipo delta na origem.

Passo 5

Passo inicial da parte (b): relacionar \rho_{v0} com Q e a.
A densidade volumétrica uniforme \rho_{v0} (constante) está presente para 0<r<a. A carga total Q deve ser igual à integral de \rho_{v0} sobre o volume da esfera de raio a. Usamos coordenadas esféricas: o elemento de volume é dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Assim
Q=\int_{V}\rho_{v0}\,dV=\rho_{v0}\int_{0}^{a}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
As integrais angulares valem 4\pi, e a integral radial é \int_{0}^{a} r^{2}\,dr=\dfrac{a^{3}}{3}. Logo
Q=\rho_{v0}\cdot 4\pi\cdot \frac{a^{3}}{3}.
Daí isolamos \rho_{v0}:
\rho_{v0}=\frac{3Q}{4\pi a^{3}}.
Isso garante que a carga total da esfera de raio a seja Q.

Passo 6

Determinar \mathbf{D} e \operatorname{div}\mathbf{D} para r<a e para r>a (continuação da parte b).
Pelo princípio da simetria esférica e pela forma da lei de Gauss (forma integral),
  • para r<a (dentro da esfera), a carga encerrada por uma esfera de raio r é
    Q_{\text{enc}}(r)=\rho_{v0}\cdot \frac{4\pi r^{3}}{3}.
    Aplicando a lei de Gauss \oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{enc}}, com \mathbf{D}=D_r(r)\hat r,
    D_r(r)\cdot 4\pi r^{2}=Q_{\text{enc}}(r)=\rho_{v0}\frac{4\pi r^{3}}{3}.
    Assim
    D_r(r)=\frac{\rho_{v0} r}{3},
    e
    \mathbf{D}(r)=\frac{\rho_{v0} r}{3}\,\hat r\qquad\text{para }0\le r<a.
    Agora calcule \operatorname{div}\mathbf{D} usando \operatorname{div}(A_r\hat r)=\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}(r^{2}A_r):
    \operatorname{div}\mathbf{D}(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Big(r^{2}\cdot \frac{\rho_{v0} r}{3}\Big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Big(\frac{\rho_{v0} r^{3}}{3}\Big) =\frac{1}{r^{2}}\cdot \rho_{v0} r^{2}=\rho_{v0}.
    Portanto, no interior ( r<a), \operatorname{div}\mathbf{D}=\rho_{v0} — exatamente a densidade volumétrica de carga, como esperado pela forma diferencial da lei de Gauss:
    \operatorname{div}\mathbf{D}=\rho_v.
  • para r>a (fora da esfera), toda a carga Q está contida no interior. Pelo mesmo raciocínio de simetria, fora da esfera o campo \mathbf{D} é igual ao campo de uma carga pontual Q localizada na origem:
    \mathbf{D}(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\hat r\qquad\text{para }r>a.
    Como já fizemos na parte (a), para r>0 desta expressão vale
    \operatorname{div}\mathbf{D}(r)=0\qquad\text{para }r>a.
No ponto r=a o componente normal D_r é contínuo (não há carga superficial extra), pois o valor limite interno \rho_{v0}a/3 e o valor externo Q/(4\pi a^{2}) coincidem quando usamos a relação \rho_{v0}=3Q/(4\pi a^{3}). (Isto é uma verificação de consistência.)

Resposta

(a) \operatorname{div}\mathbf{D}=0\) para \(r\neq 0\). Em sentido de distribuições: \(\operatorname{div}\mathbf{D}=Q\,\delta(\mathbf{r})\).\n (b) \(\displaystyle \rho_{v0}=\frac{3Q}{4\pi a^{3}}\).\n \(\displaystyle \operatorname{div}\mathbf{D}=\begin{cases}\rho_{v0} & \text{para }0\le r<a,\\[4pt] 0 & \text{para }r>a.\end{cases}]

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