Quais das seguintes formas são tautologias, proposições logicamente falsas ou nenhuma das duas condições?
\quad(\mathrm{p} \wedge \sim \mathrm{q}) \leftrightarrow(\mathrm{p} \rightarrow \mathrm{q})

Passo 1

O enunciado pede para classificar a forma
(p\wedge\lnot q)\leftrightarrow(p\to q)
como tautologia, contradição (proposição logicamente falsa) ou contingência. Vamos usar tabela-verdade.

Passo 2

Listamos todos os possíveis valores de (p,q) e calculamos (p\wedge\lnot q) e (p\to q):

Passo 3

Para cada caso: p=T,\;q=T: \;p\wedge\lnot q = T\wedge F = F,\quad p\to q = T\to T = T, \;(p\wedge\lnot q)\leftrightarrow(p\to q)=F. p=T,\;q=F: \;p\wedge\lnot q = T\wedge T = T,\quad p\to q = T\to F = F, \;(p\wedge\lnot q)\leftrightarrow(p\to q)=F. p=F,\;q=T: \;p\wedge\lnot q = F\wedge F = F,\quad p\to q = F\to T = T, \;(p\wedge\lnot q)\leftrightarrow(p\to q)=F. p=F,\;q=F: \;p\wedge\lnot q = F\wedge T = F,\quad p\to q = F\to F = T, \;(p\wedge\lnot q)\leftrightarrow(p\to q)=F.

Passo 4

Em todas as quatro linhas o valor final é F. Isso mostra que a forma é sempre falsa, independentemente de p e q.

Resposta

A forma (p\wedge\lnot q)\leftrightarrow(p\to q) é uma proposição logicamente falsa (contradição).

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