Para as seguintes funções encontre a derivada de ordem n :
f(x)=\frac{5}{e^{2 x-7}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
f(x)=\frac{5}{e^{2x-7}}.
O conteúdo principal aqui é a derivada de uma função exponencial da forma e^{ax} (com a constante) e a aplicação da regra da cadeia repetidamente.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) como uma constante vezes um exponencial simples:
f(x)=\frac{5}{e^{2x-7}}=5\,e^{-(2x-7)}=5\,e^7\,e^{-2x}.
Então definimos
C = 5\,e^7,
ficando
f(x)=C\,e^{-2x}.

Passo 3

Sabemos que, para qualquer constante C e qualquer k fixo,
\frac{d}{dx}\bigl(C\,e^{k x}\bigr)=C\,k\,e^{k x}.
No nosso caso k=-2. Logo, a primeira derivada é
f'(x)=C\cdot(-2)\,e^{-2x}.
Cada vez que derivamos e^{-2x} surge um fator -2 extra.

Passo 4

Aplicando a regra de derivação n vezes, cada derivada acrescenta um fator -2. Assim chegamos a
f^{(n)}(x)=C\;(-2)^n\,e^{-2x}.
Voltando a C=5\,e^7, obtemos
f^{(n)}(x)=5\,e^7\;(-2)^n\,e^{-2x} =5\,(-2)^n\,e^{7-2x}.

Resposta

f^{(n)}(x)=5\,(-2)^n\,e^{7-2x}.

Exercícios relacionados