As funções f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} e f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} são chamadas, respectivamente, função seno hiperbólico f(x)=\operatorname{senh}(x) e função tangente hiperbólico f(x)=\operatorname{tanh} (x). De forma análoga definem-se secante, cossecante e cotangente hiperbólicos. Mostre que \frac{d}{d x} \operatorname{senh}(x)=\operatorname{cosh} (x) e \frac{d}{d x} \operatorname{cosh} (x)=\operatorname{senh}(x), e calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{tanh} (\cos (3 x))

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle \senh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
e
\displaystyle \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
pede para mostrar que
\frac{d}{dx}\senh(x)=\operatorname{cosh}(x)
e
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\senh(x),
e, usando isso e a regra da cadeia, calcular a derivada de
\displaystyle f(x)=\operatorname{tanh}\bigl(\cos(3x)\bigr).

Passo 2

Para \senh(x) usamos que
\senh(x)=\tfrac12e^x-\tfrac12e^{-x}.
Então
\frac{d}{dx}\senh(x) =\frac12e^x-\frac12\bigl(-e^{-x}\bigr) =\frac12e^x+\frac12e^{-x} =\operatorname{cosh}(x).

Passo 3

Para \operatorname{cosh}(x) escrevemos
\operatorname{cosh}(x)=\tfrac12e^x+\tfrac12e^{-x}.
Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x) =\frac12e^x+\frac12\bigl(-e^{-x}\bigr) =\frac12e^x-\frac12e^{-x} =\senh(x).

Passo 4

Para f(x)=\operatorname{tanh}\bigl(u(x)\bigr) vale a regra
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh}\bigl(u(x)\bigr) =\sech^2\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x),
onde \sech(u)=1/\operatorname{cosh}(u). Aqui u(x)=\cos(3x), logo
u'(x)=-\sin(3x)\cdot3=-3\sin(3x).

Resposta

f'(x) =-3\sin(3x)\,\sech^2\bigl(\cos(3x)\bigr) \;=\; -\frac{3\sin(3x)}{\operatorname{cosh}^2\!\bigl(\cos(3x)\bigr)}.

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