Para as seguintes funções encontre a derivada de ordem
:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
que é definida para
. Para resolver, usaremos a regra da cadeia e observaremos o padrão que surge nas derivadas sucessivas de
.
Passo 2
Primeiro devemos notar que, para todo
,
Logo,
Passo 3
Agora calculamos mais algumas derivadas para perceber o padrão:
Passo 4
Observando os coeficientes vemos que eles seguem o padrão
e o sinal alterna a partir de
. Ou seja, para
supomos por indução que
A derivada seguinte é
confirmando o padrão.
Resposta
Para
,