Para as seguintes funções encontre a derivada de ordem n :
f(x)=\ln (-3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
f(x)=\ln(-3x),
que é definida para x<0. Para resolver, usaremos a regra da cadeia e observaremos o padrão que surge nas derivadas sucessivas de x\mapsto\ln(-3x).

Passo 2

Primeiro devemos notar que, para todo x<0,
\frac{d}{dx}\ln(-3x) =\frac{1}{-3x}\cdot(-3) =\frac{1}{x}.
Logo,
f'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora calculamos mais algumas derivadas para perceber o padrão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) =-1\,x^{-2},
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-1\,x^{-2}\bigr) =(-1)(-2)\,x^{-3}=2\,x^{-3},
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\,x^{-3}\bigr) =2(-3)\,x^{-4}=-6\,x^{-4}.

Passo 4

Observando os coeficientes vemos que eles seguem o padrão (n-1)! e o sinal alterna a partir de n=1. Ou seja, para n\ge1 supomos por indução que
f^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!\,x^{-n}.
A derivada seguinte é
f^{(n+1)}(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[(-1)^{\,n-1}(n-1)!\,x^{-n}\Bigr] =(-1)^{\,n-1}(n-1)!\,(-n)\,x^{-(n+1)} =(-1)^{\,n}n!\,x^{-(n+1)},
confirmando o padrão.

Resposta

Para n\ge1,
f^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!\,x^{-n}.

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