) A função f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} é chamada função cosseno hiperbólico de x, comumente representada por f(x)=\operatorname{cosh} (x). Determine a equação tangente a essa curva no ponto de abscissa -2 .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\operatorname{cosh}(x)
e pede a reta tangente no ponto de abscissa x_{0}=-2. Para isso, vamos calcular f'(-2) (a inclinação) e f(-2) (a ordenada do ponto), e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
temos, por diferenciação termo a termo,
f'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\operatorname{sinh}(x).

Passo 3

Agora avaliamos f e f' em x=-2:
f(-2)=\operatorname{cosh}(-2)=\operatorname{cosh}(2)=\frac{e^{2}+e^{-2}}{2},
f'(-2)=\operatorname{sinh}(-2)=-\operatorname{sinh}(2)=-\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde x_{0}=-2, y_{0}=f(-2) e m=f'(-2). Substituindo,
y - \frac{e^{2}+e^{-2}}{2} = -\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}\,(x - (-2)) = -\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}\,(x+2).

Resposta

y - \frac{e^{2}+e^{-2}}{2} = -\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}\,(x+2).

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