Para as seguintes funções: os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Identifique os máximos e mínimos locais. Mostre a estrutura de concavidade e todos os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função
e precisa descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, identificar os máximos e mínimos locais, entender a concavidade e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente as derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função,
. A derivada primeira nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou
não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a máximos ou mínimos locais.
Resolvendo
:
Factorando:
Então,
ou
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada primeira em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
: Escolhemos
(positivo) -
Para
: Escolhemos
(negativo) -
Para
: Escolhemos
(negativo) -
Para
: Escolhemos
(positivo)
Passo 5
Com base no sinal da derivada, podemos identificar onde a função está crescente ou decrescente:
- Crescente:
e - Decrescente:
e
Passo 6
Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais usando os pontos críticos e o comportamento da derivada:
- Em
: A derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local. - Em
: A derivada passa de negativa para negativa, sem mudança de concavidade dos sinais, portanto, nenhum extremo. - Em
: A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Passo 7
Vamos encontrar a derivada segunda,
, para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Calculando cada termo:
Passo 8
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Factorando:
Então,
ou
Resolvendo
usando Bhaskara:
Aproximadamente,
e
Passo 9
Vamos analisar o sinal da derivada segunda nos intervalos para determinar a concavidade:
- Para
: → Concava para cima - Entre
: → Concava para baixo - Entre
: → Concava para baixo - Para
: → Concava para cima
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão:
,
, e
Resposta
- Intervalos de crescimento:
e - Intervalos de decrescimento:
e - Máximo local em
- Mínimo local em
- Concavidade para cima em
e - Concavidade para baixo entre
- Pontos de inflexão em
, , e