Faça os gráficos das seguintes funções modulares:
a) f(x) = |x|
b) f(x) = |x| + |x - 1|
c) f(x) = |x| + |x - 1 + |x - 2||
d) f(x) = |x^2 - x| + 3
e) f(x) = |x^2 - x| + |x^2 + 1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de graficar funções modulares. O conteúdo aqui envolve funções absolutas, que basicamente transformam qualquer número negativo em positivo. Para resolver isso, vamos analisar cada função separadamente, identificar seus pontos-chave e desenhar seus gráficos passo a passo.

Passo 2

a)

Primeiro, vamos olhar para a função . A função valor absoluto pega qualquer número e retorna seu valor positivo.
  • Pontos-chave:
    • Quando , .
    • Quando , .
  • Gráfico:
    • Para , a linha sobe com inclinação 1.
    • Para , a linha desce com inclinação -1, mas como o valor é positivo, a linha fica acima do eixo x.
O gráfico forma um “V” com o ponto de corte na origem (0,0).

Passo 3

b)

Agora, vamos para . Essa função é a soma de duas funções valor absoluto.
  • Pontos-chave:
    • Identificamos os pontos onde cada valor absoluto muda de comportamento: e .
  • Intervalos a considerar:
  • Cálculos:
    1. Para :
    2. Para :
    3. Para :
  • Gráfico:
    • Para , a linha desce com inclinação -2 até o ponto (0,1).
    • De a , a função é constante em 1.
    • Para , a linha sobe com inclinação 2.

Passo 4

c)

Vamos resolver . Aqui, temos três funções valor absoluto.
  • Pontos-chave:
    • Onde cada valor absoluto muda: , e .
  • Intervalos a considerar:
  • Cálculos:
    1. Para :
    2. Para :
    3. Para :
    4. Para :
  • Gráfico:
    • Para , a linha desce com inclinação -3.
    • De a , a linha desce com inclinação -1.
    • De a , a linha sobe com inclinação 1.
    • Para , a linha sobe com inclinação 3.

Passo 5

d)

Agora, vamos para . Essa função envolve um polinômio dentro do valor absoluto e um deslocamento vertical.
  • Análise da expressão dentro do valor absoluto:
    • As raízes são e .
    • A parábola está abaixo do eixo x entre e acima fora desse intervalo.
  • Valores absolutos:
    • Para ou :
    • Para :
  • Função completa:
    • Isso desloca o gráfico da função para cima em 3 unidades.
  • Gráfico:
    • Para ou , o gráfico segue a parábola deslocada para cima.
    • Entre e , o gráfico segue deslocado para cima.
  • Vértices importantes:
    • No ponto mínimo da parábola original , que é em , temos:

Passo 6

e)

Por fim, vamos resolver . Aqui, temos duas funções valor absoluto envolvendo polinômios.
  • Análise das expressões dentro dos valores absolutos:
      • Raízes: e
      • A parábola está abaixo do eixo x entre e acima fora desse intervalo.
      • Sempre positivo, pois é não negativo e 1 é positivo.
      • Portanto, para todo .
  • Função completa:
  • Simplificação por intervalos:
    1. Para ou :
    2. Para :
  • Gráfico:
    • Para ou , a função é uma parábola com coeficiente positivo, indicando que abre para cima.
    • Entre e , a função é uma linha reta com inclinação 1.
  • Vértices importantes:
    • Em :
    • Em :

Resposta

Prontinho! Agora você tem os gráficos e as explicações passo a passo para cada uma das funções modulares propostas no exercício.

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