Quais das seguintes matrizes estão na forma escada? E quais é linha reduzida à forma escada?
\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar, para a matriz dada, duas coisas separadas:
  • se ela está na forma escada (forma escalonada por linhas, também chamada de REF);
  • se ela está na forma escada reduzida por linhas (RREF).
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vamos lembrar, com calma e em palavras simples, quais são as condições que definem a forma escada (REF). Uma matriz está em forma escada por linhas se, ao ler as linhas de cima para baixo:
  1. Todas as linhas que são completamente nulas (todas as entradas iguais a 0) aparecem abaixo de todas as linhas não nulas. Em outras palavras, as linhas zero ficam por baixo.
  2. Em cada linha não nula existe um primeiro elemento não nulo (chamado de pivô ou entrada de avanço) e, ao descer nas linhas, a posição desse pivô move-se estritamente para a direita. Ou seja, o pivô de uma linha fica em coluna à direita do pivô da linha anterior.
  3. Todas as entradas abaixo de um pivô são zeros (portanto cada pivô é o primeiro não zero naquela coluna, olhando de cima para baixo).
Vou explicar rapidamente o que importa: se não há linhas não nulas (isto é, todas as linhas são zero), a regra 1 está satisfeita e as regras 2 e 3 falam sobre pivôs — mas se não há pivôs, essas regras são automaticamente verdadeiras (é o que se chama de verdade “vacuamente” — não há contraexemplo possível).

Passo 3

Agora aplicando essas condições à matriz A:
  • Observação: todas as três linhas de A são linhas nulas (cada entrada é 0). Então a condição 1 (linhas nulas embaixo) está satisfeita: não há nenhuma linha não nula acima de uma linha nula.
  • Como não existe nenhuma linha não nula, não existem pivôs. As condições 2 e 3, que falam sobre a posição dos pivôs e sobre entradas abaixo deles, tornam-se proposições sem objeto: não há pivôs para violar essas condições, logo elas são satisfeitas vacuamente.
Portanto, segundo a definição formal, A cumpre todas as condições da forma escada por linhas.

Passo 4

Para deixar mais intuitivo: a forma escada impõe uma “organização” das linhas em que os pivôs descem para a direita; se nenhuma linha tem pivô (matriz totalmente zero), essa organização é trivially verdadeira — não há nada fora de ordem. Um contraste rápido: a matriz
\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
não está em forma escada porque a primeira linha tem pivô na coluna 2 e a segunda linha tem pivô na coluna 1, isto é, o pivô da segunda linha não está à direita do pivô da primeira — aí sim haveria violação.]

Passo 5

Agora definir o que é forma escada reduzida por linhas (RREF). Uma matriz está em RREF se:
  1. Está em forma escada por linhas (as três condições do REF valem).
  2. Cada pivô é igual a 1.
  3. Cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna (todos os outros elementos da coluna do pivô são zeros, tanto acima quanto abaixo).
Novamente, se não houver pivôs (matriz totalmente zero), as condições 2 e 3 — que exigem propriedades dos pivôs — são verdadeiras vacuamente, pois não há pivôs que possam violá-las.

Passo 6

Aplicando essa definição à matriz A:
  • Já vimos que A está em forma escada por linhas.
  • Não existem pivôs em A. Logo, as exigências "cada pivô é 1" e “cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna” não têm pivôs para testar, portanto são satisfeitas vacuamente.
  • Assim, A também atende a todas as condições da forma escada reduzida por linhas.
Dica amistosa: na prática, a matriz nula (todas entradas zero) é sempre considerada uma matriz em REF e também em RREF; ela é a forma reduzida final para matrizes cujo posto é 0.

Resposta

Forma escada (REF): Sim
Forma escada reduzida por linhas (RREF): Sim

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